2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)专题10解析几何(上)(学生版+解析).docx
备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划
专题10解析几何（上）
全国联赛真题汇编
1．（2024·全国联赛A卷）设F1,F2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P(异于长轴端点)，记O为ΔPF1F2的外心
2．（2024·全国联赛B卷）在椭圆Ω中，F1,F2为焦点，A为长轴的一个端点，B为短轴的一个端点，若∠F
3．（2024·全国联赛A卷）在平面直角坐标系中，双曲线Γ:x2?y2=1的右顶点为A．将圆心在y轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P
4．（2024·全国联赛B卷）在平面直角坐标系中，将圆心在y轴上，且与双曲线Γ:x2?y2=1的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．是否存在常数λ及x轴上的一个定点A，
各省预赛试题汇编
5．（2024·江苏预赛）在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，点A在第一象限，且在圆Γ:x?12+y2=1上，点B
6．（2024·四川预赛）用fX,Γ表示点X与曲线Γ上任意一点距离的最小值．已知⊙O:x2+y2=1及⊙O1
7．（2024·福建预赛）已知A为双曲线C:x24?y2=1的右顶点，过点A斜率为k1,k2的直线l1,l2
8．（2024·江西预赛）平面上同时和三直线y=3
9．（2024·浙江预赛）在平面直角坐标系xOy上，椭圆E的方程为x212+y24=1，F1为E的左焦点；圆C的方程为x?a2+y?b2=r2，A为C的圆心．
10．（2024·广西预赛）已知椭圆x2a2+y2b2=1ab0的焦点为F1，
11．（2024·内蒙古预赛）O是原点，椭圆x24+y25=1，直线l过1,0且与椭圆交于A
12．（2024·重庆预赛）若点A?12,32关于直线y=kx
13．（2024·广东预赛）已知抛物线C:y2=18x+27的焦点与椭圆E:x
(1)求E的方程；
(2)已知点F1为E的左焦点，P是E上的一点(异于左、右顶点)，△PF1F2外接圆的半径为R，内切圆的半径为
14．（2024·江苏预赛）直线l过椭圆Γ:x24+y23=1的右焦点F，交椭圆Γ于A,B两点．已知在
15．（2024·四川预赛）已知t为正实数，若曲线y=t?ex与椭圆C:x22+y
16．（2024·福建预赛）已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若△F1AB的面积为245，
17．（2024·吉林预赛）已知椭圆C1的中心为坐标原点O，焦点在坐标轴上．圆C2的圆心为坐标原点O，过点A?2，0且倾斜角为
(1)求圆C2的方程
(2)过圆C2上任意一点Px0，y0x0?y0≠0作圆C2的切线，与椭圆
17．（2024·江西预赛）双曲线Γ:x2a2?y2b2=1
18．（2024·内蒙古预赛）已知双曲线C:x24?y23=1，直线l:y=kx+1与双曲线C的左右支分别相交于A，B两点，双曲线C在A
19．（2024·新疆预赛）如图，F1,F2为双曲线C:x2a2?y22=1a0,
（1）求m的取值范围；
（2）设过点F1,N的直线l与双曲线C交于D
20．（2024·上海预赛）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ:x24+y2=1，A,B是椭圆的左、右顶点，点C是椭圆Γ内（包括边界）的一个动点．
21．（2024·上海预赛）求所有正整数nn≥3，满足正n边形能内接于平面直角坐标系xOy中椭圆x
22．（2024·重庆预赛）已知抛物线Ω：y=x2，动线段AB在直线y=3x?3上(B在A右侧)，且|AB|=23．过A作Ω的切线，取左边的切点为M．过B作Ω的切线，取右边的切点为N．当
备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划
专题10解析几何（上）
全国联赛真题汇编
1．（2024·全国联赛A卷）设F1,F2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P(异于长轴端点)，记O为ΔPF1F2的外心
【答案】6
【详解】取F1F2的中点M，有MO⊥
记PF1
PO
2PF1?PF
由柯西不等式知83d2=
所以Ω的离心率e=
当u:v:d=1:3
2．（2024·全国联赛B卷）在椭圆Ω中，F1,F2为焦点，A为长轴的一个端点，B为短轴的一个端点，若∠F
【答案】3
【解析】如图，因为∠F1BF2=∠F1AB，所以△BF1F2∽△ABF1，所以
3．（2024·全国联赛A卷）在平面直角坐标系中，双曲线Γ:x2?y2=1的右顶点为A．将圆心在y轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P
【答案】2
【详解】考虑以0,y0
由Ω0与Γ的方程消去x，得关于y的二次方程
根据条件，该方程的判别式Δ=4y0
对于外切于点P的两个好圆Ω1,Ω2，显然P在y轴上．设P0,?,Ω1
两式相减得2?r1+r2=r
进而r1?r2
由于d=