2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)专题03导数(学生版+解析).docx
备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划
专题3导数
各省预赛试题汇编
1．（2024·吉林预赛）函数fx=ax3?6xa∈R，若
A．fx≤1对?x∈?12,1
C．fx≤18对?x∈?32,3
2．（2024·四川预赛）设函数fx=lnx+x?2
3．（2024·四川预赛）已知函数fx=px?px?2lnx
4．（2024·吉林预赛）已知函数fx=lnx?1x2+2ax
5．（2024·新疆预赛）函数fx=2x
6．（2024·上海预赛）已知函数fx=ax2+
7．（2023·江西预赛）函数fx=
8．（2023·四川预赛）设P0,a是y轴上异于原点的任意一点，过点P且平行于x轴的直线与曲线y=1alnx交于点Q，曲线y=1a
9．（2023·新疆预赛）若对任意的x∈0,+∞，不等式aeae
10．（2022·甘肃预赛）函数fx=ex?alnax?
11．（2022·苏州预赛）若关于x的不等式lnax+ax≤x+e
12．（2024·广东预赛）已知方程lnx+x1?m=0
(1)求实数m的取值范围；
(2)若不等式t+1lna+t
13．（2024·福建预赛）已知函数fx
(1)当m=1时，求f
(2)若fx≥0恒成立，求
14．（2024·内蒙古预赛）已知函数fx
(1)当a=0时，讨论fx在?4,1
(2)若x=0是fx的极小值点，求a的取值范围
15．（2024·重庆预赛）已知函数f(x)=lnx?sinx，若两不相等的实数x1,x2∈(0,π
16．（2023·吉林预赛）已知函数fx=ex?1+Ax2?1
17．（2022·浙江预赛）设m为大于1的正整数，函数fx
(1)当x∈0,m?
(2)证明对任意x∈0,m
18．（2022·福建预赛）已知函数fx
(1)若fx≤1恒成立，
(2)若fx存在最大值，求a的取值范围
19．（2022·甘肃预赛）设函数fx
(1)若函数fx在R上单调递增，求a的值
(2)当a1
(i)证明：函数fx有两个极值点x1,x2x
(ii)在(i)的结论下，证明：fx
20．（2022·吉林预赛）已知函数fx=4ex?1x+1+
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专题3导数
各省预赛试题汇编
1．（2024·吉林预赛）函数fx=ax3?6xa∈R，若
A．fx≤1对?x∈?12,1
C．fx≤18对?x∈?32,3
【答案】C
【详解】若fx≤2对
可得f?1=?a+6≥?2f
若a=8，即fx
又因为8x3?6x?2=8
且8x3?6x?
即8x3?6x
综上所述：a=8．
因为fx=8x
令f′x0，解得x?12或x
可知fx在?12
且f1
由f1
由f?
结合单调性可知：fx≤18对
故选：C．
2．（2024·四川预赛）设函数fx=lnx+x?2
【答案】4
【详解】fx
当x0时，fx=ln
∴fx在(0,+
而f1=?10，
∴x0时，fx在(1,2)
∵fx是偶函数，∴fx在
而f(?1)=?10，f(?2)=ln
∴x0时，fx在(?2,?1)
∴fx零点都在(?2,2)
故当a=?2,b=2时，b?a取最小值，且最小值为4，
3．（2024·四川预赛）已知函数fx=px?px?2lnx
【答案】1
【详解】∵函数fx=px?px?2
要使f(x)在定义域0,+∞内为增函数，
只需f′x≥0
即px2?2x+p≥0在0,+∞上恒成立，即p≥2x
∵2xx2+1=2
∴p≥1，即实数p的最小值为1．
4．（2024·吉林预赛）已知函数fx=lnx?1x2+2ax
【答案】1e
【详解】设gx=fx
当a=1e时，ge=lne
符合题意．
当a1e时，
设?x=ln
当0xe时，?′x0，当
即?x在0,e单调递增，在
知x=e为?
所以?x
所以当a1e时，对?x0，有
综上，amax
5．（2024·新疆预赛）函数fx=2x
【答案】12
【解析】当x≤?52
当?52x?
当x≥?32时，f
因此，fx在x=?2
6．（2024·上海预赛）已知函数fx=ax2+
【答案】?
【详解】由条件ax2+ln
则g′
于是gx在区间0,e上单调递增，在区间e
从而gx
结合图形知a∈?12e,0，
7．（2023·江西预赛）函数fx=
【答案】1
【详解】f
所以函数fx=x
8．（2023·四川预赛）设P0,a是y轴上异于原点的任意一点，过点P且平行于x轴的直线与曲线y=1alnx交于点Q，曲线y=1a
【答案】e
【详解】如图，令1a
则Qea2,a．又
令x=0，得
设fa=ea2
此时f′
所以当a=22时，△
9．（2023·新疆预赛）若对任意的x∈0,+∞，不等式aeae
【答案】1
【详解】设u=ex+1，则a
且函数y=xex在0,+∞