向量的数量积及其计算综合（原卷版）-2024-2025学年人教A版高一数学下册重难点突破.pdf

专题12向量数量积及其计算综合

题型•解读

模块一数量积重点题型梳理1

【题型1】向量数量积的相关概念2

【题型2】向量数量积计算3

【题型3】向量的垂直问题5

【题型4】向量的模长6

【题型5】求向量的夹角6

【题型6】求向量的投影向量7

【题型7】用向量求线段长，夹角8

模块二向量数量积中档题10

【题型8】极化恒等式求数量积10

【题型9】拆分向量求数量积13

【题型10］投影法求数量积15

【题型11】与几何图形结合的向量问题18

【题型12］隐圆中的数量积问题18

【题型13］三角形四心的识别及欧拉线问题20

【题型14］三角形四心的相关计算24

【课后训练】25

题型汇编

知识梳理与常考题型

模块一数量积重点题型梳理

基础知识」

知识点01向量夹角

⑴定义：已知两个非零向量a,b,0是平面上的任意一点，作OA=a,oB=则ZAOB=，叫做向

量〃与/7的夹角.

⑵向量的夹角范围

⑶特殊情况：

①e=。，a与〃同向；

TC

②e=U，a与人垂直，记作a_LZ;;

2

@0=7i,a与b反向.

知识点02平面向量数量积的概念

(1)平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a与0,它们的夹角为仇我们把数量|a\\b\cosd叫做向量a与人的数量积(或内

积).

记作：a-b,即a»=|a||5|cosd.

规定：零向量与任一向量的数量积为0

_a-ba-(a+b]

。与b夹角公式：cos=厂而。与(7+6夹角公式：cos^^-piiA

ab

\\\\而+N

模长公式：a-a=\ci\或a7a=,\a+b\=l(a-i-b)

A

特别提醒：

(1)“•”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“X”；

(2)数量积的结果为数量，不再是向量；

(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角。决定：当夕是锐角时，数量积为正；当9是钝角时，数量积

为负；当夕是直角时，数量积等于零.

知识点03平面向量数量积的运算律

(1)a-b=b-a；⑵==a•(砌(人为实数);(3)[a+b^-c=a-c+b-c-

(4)两个向量°,〃的夹角为锐角Qq.》〉0且°,〃不共线；

两个向量a,6的夹角为钝角=a•/?0且a,不共线.

(5)平面向量数量积运算的常用公式

^a+b^-^a-b^=a-b(a+Z?)=a+2a-b+b^^一方)=a-2a-b+b2

易错注释：a-b-c^a-(b-cj^a-c-b,即三个向量相乘时不能交换顺序

【题型1