专题02 平面向量的数量积七种考法（原卷版）-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）（新高考地区专用）_1.docx
专题02平面向量的数量积七种考法
一、方法讲解
1.辨析数量积的运算律
数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．
2.平面向量的数量积运算
数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．
3.平面向量的长度、角度、垂直问题
根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题
注：平面向量的模长范围问题，常用的方法有：
（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；
（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；
（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直
4.投影向量
向量在向量方向上的投影向量为
在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
二、重难点例题及变式
类型一、辨析数量积的运算律
例．已知非零向量，则“”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【变式训练1】若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（????）
A． B．
C． D．
【变式训练2】设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（????）
A． B．
C．与垂直 D．
类型二、平面向量的数量积运算
例．（1）已知向量满足，则（????）
A． B． C．1 D．2
（2）已知向量，若，则实数（????）
A． B． C． D．1
（3）如图所示，在边长为2的等边中，点为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则（????）
A． B． C． D．
【变式训练1】已知向量，，若，则．
【变式训练2】已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（???）
A． B． C． D．
【变式训练3】已知边长为1的正方形ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，则（????）
A． B． C． D．
类型三、平面向量的夹角问题
例．（1）已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
（2）已知向量，则（????）
A． B． C． D．
【变式训练1】已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是.
【变式训练2】已知向量，若，则（????）
A． B． C．5 D．6
类型四、平面向量的模长
例．（1）已知向量满足，且，则（????）
A． B． C． D．1
（2）已知向量，且，则.
（3）已知向量，，，则的最小值为.
【变式训练1】若向量满足，，，则.
【变式训练2】已知向量满足，则
【变式训练3】在平行四边形中，若则的最小值为（????）
A． B． C．1 D．
类型五、投影向量
例．（1）已知向量，若，则在上的投影向量为．
（2）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
【变式训练1】已知向量，，则在上的投影向量为（???）
A． B． C． D．
【变式训练2】已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，且，则（?????）
A． B． C． D．
类型六、平面向量的垂直问题
例．（1）已知向量，若，则（????）
A． B． C．1 D．2
（2）若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（????）
A． B． C． D．
【变式训练1】已知向量，若，则（????）
A． B．
C． D．
【变式训练2】已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则（?????）
A． B． C． D．
类型七、数量积范围的综合问题
例．已知向量，，且.
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）记函数，若的最小值为，求实数的值.
【变式训练1】是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，A?B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且（为锐角）.点C为单位圆上的动点，线段交线段于点.
（1）求（结果用表示）；
（2）若
①求的取值范围：
②设，求的取值范围.
三、能力测试练
1．已知和是两个单位向量，若，则向量与向量的夹角为（????）
A． B． C． D．
2．已知平面向量，，若，则实数（????）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
3．已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
4．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（????）
A． B．
C． D．
5．（多选）关