理论力学第3章-3.ppt

例2：一匀质细棒，直立于不光滑的桌面上，某一瞬时，在水平方向给它一个400N的作用力，如图，求棒的角加速度。假设棒开始处于静止状态，棒与桌面的静摩系数和动摩擦系数都为 μA =0.25,且棒的质量为100kg. * §3.7 刚体的平面平行运动 滚 平面平行运动 = 基点平动 + 绕基点的转动 2、刚体任意点的速度和加速度 加速度表达式 P点对O点的绝对加速度 A点相对O点加速度 P点的相对A点加速度 在固定参考系的表示 P点在静系和动系中的坐标为（x,y）和(x’,y’）,v 在静系中的投影： 在动坐标系中的投影为： 刚体角速度不为零时，在任一时刻恒有一点的速度为零，称为转动瞬心。 2. 转动瞬心 对实验室坐标系 对固着刚体坐标系 (1)解析法 利用转动瞬心C与刚体上 任一点连线与其速度方向垂直，可以用几何法求瞬心. A B C 3、 当刚体运动时，瞬心的位置随之而变，转动瞬心C在固定平面xy上的轨迹称为空间极迹，而在薄片上（动平面）的轨迹称为本体极迹。 刚体的运动是本体极迹 在空间极迹上的无滑滚动。---潘索定理。 例如车轮在轨道上的滚 动。 (2)几何法 例1：试用瞬心法求椭圆规尺上M点的速度，并求空间极迹与本体极迹的方程式。（§1.2 例题）椭圆规尺AB，从其端点A与B沿直线导槽O 及O 滑动，而B以等速C运动。 解 ：固定坐标系o 活动坐标系 ， 是原点，位于AB的中点，且X和Y轴分别平行于 轴和 轴。 因 方向已知，所以分别过AB两点作垂线，交于 点， 点即瞬心。选θ作参数，可得空间极迹参数方程： h O B A 消去参数，设空间极迹方程 消参数，得本体极迹方程 可知，该式是以O为圆心，以（a+b)为半径的圆。 O B A 相对于活动坐标系， 点的（参数方程）坐标： 该式是一个以AB中点为圆心，以(a+b)/2为半径的圆 角速度 O B A 消参数，得本体极迹方程： 本体极迹的求法： 也可以A为圆点，建立固连在AB棒上的活动坐标系A-xy,则 A B c 解：这是平面平行运动问题，利用瞬心法求解较方便。 ?取固定坐标系Mξη，动坐标系Axy，固连在AB上。可知，A端速度VA，M端点速度VM沿BA方向。过M作CM⊥AB,过A作AC ⊥ VA，交于C点，即瞬心。 C 点坐标为（对固定坐标系） 例2：杆AB在竖直平面内运动，其下端沿OA滑动，而杆本身则于任何时刻均通过M点,M点高h。试求杆的瞬时中心的轨迹（空间极迹和本体极迹）及杆的瞬时角速度。设A端的速度v为已知。 即为空间极迹 1 A M D 在动坐标系xy中，C点坐标C（x,y)。 x=AM,y=MC,且有关系 而 2 3 4 5 将④⑤式带入③式，化简，得 即本体极迹方程 A M D （2）某瞬时A点， 故杆的瞬时角速度： 或 A M D [例3] 试用转动瞬心法求椭圆规尺M点的速度、加速度，并求 本体极迹和空间极迹的方程式。 转动瞬心 空间极迹 本体极迹 解 3. 平面平行运动动力学 平面平行运动一般分解为绕过质心C点的轴的转动和质心C的平动。 若只在保守力作用下，刚体的机械能守恒 质心平动动能 绕质心轴转动动能 质心运动 方程 绕过质心轴的转动方程 例1 无滑下滚圆柱体的加速度和约束反力。 C O’ mg N f O y xC 解 （A）机械能守恒定律 动能 势能 机械能 求微商，得 实心圆柱体 空心圆柱体 不能求约束反力 质心C点的平动方程： 绕质心C点的转动方程： 联立方程可求得： C O’ mg N f O y xC 解 （B）运动定理 该解法比第一种全面 解： 第一步：棒作平面运动可用质心 运动及绕质心的转动来研究 第二步：选棒为研究对象，分析受 力， 第三步：建立坐标系o-xy, 开始时，棒质心： 绕质心的转动惯量: x方向: y方向： 1 2 由质心运动方程，可得： 3m 0.5m C A 当棒将要离开而尚未离开A点时： ④ 解①、②、③、④式，得： 摩擦力： 角加速度： 质心加速度： 约束反力： 由转动定律知，绕质心转动（顺时针为正） 3 问题：如果以A点做转轴列方程可以吗？ 答：可以 5 讨论：因为 棒将离开A点时， 就不成立了，因为此时摩擦力为 将⑤代入①、③式，得： 例3 一端结于天花板上的绳缠绕在一个半径为r的重w的圆盘上，求圆盘中心向下运