北京林业大学-线代模拟卷1答案.doc

线性代数模拟试卷 （答案） 一、填空题(每小题3分, 共 30 分) 1、设行列式，，则 3 。 2、四阶行列式中含有的项是和。 3、矩阵的逆矩阵。 4、设，，则。 5、若线性无关，则线性 无关 。 6、已知向量组，，，， 该向量组的秩为 2 。 7、已知方程组有非零解，则常数 4 。 8、若满足矩阵方程，则。 9、设三阶矩阵的特征值为1，2，3，则 0 。 10、设阶矩阵的各行元素之和为0，且，则线性方程组的通解为 。 解：因为，所以其基础解系中只含有一个向量， ， 显然 二、单选题（每小题3分，共15分） 1、设为阶方阵，则必有（ B ）。 ， ， ， 。 2、设都是阶方阵，且则必有（ A ）。 ， ， ， 。 3、下列命题正确的是（ C ）。 等价的向量组包含的向量个数相等； 任一向量组都有最大线性无关组； 向量组的任一最大线性无关组都与向量组本身等价； 矩阵的行向量组与列向量组等价。 4、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（ C ）。 系数矩阵的任意两个列向量线性相关； 系数矩阵的任意两个列向量线性无关； 必有一列向量是其余列向量的线性组合； 任意列向量都是其余列向量的线性组合。 5、如果（ D ），则与相似。 ； ； 与有相同的特征多项式； 与有相同的特征值，且特征值互不相同。 三、（8分）计算四阶行列式 解： 四、（10分）设，，满足，求。 解：， (4分) ，，(3分) (3分) 五、（12分）对线性方程组， 讨论当取何值时，方程组无解、有唯一解和无穷多组解； 在方程组有无穷多组解时，试写出其通解。 解：　（４分）， 当时，方程组无解；（２分） 当时，方程组有唯一解；（２分） 当时，方程组有无穷解，， 通解：。（４分） 六、（分），求正交矩阵，使为对角阵。 解: ，, (4分) ，取，(2分) ，取， (2分) ，取， (2分) 再将单位化，得正交矩阵 ，。（２分） 七（7分）、设为齐次线性方程组的一个基础解系， 证明,,也是该方程组的一个基础解系. 证明：由于为齐次线性方程组的一个基础解系，所以 故,,是方程组的解； 所以,,也是该方程组的一个基础解系 八、（6分）设为阶矩阵，和是的两个不同的特征值，和是 分别属于和的特征向量，证明不是的特征向量。 证明：反证法，设，（２分） 而，，（２分） 因为属于不同特征值的特征向量线性无关， ，矛盾，所以不是的特征向量。（２分） 1