北京林业大学-08线代56学时(A)卷及解答.doc

北京林业大学2008--2009学年第一学期试卷A 试卷名称： 高等代数（56学时） 课程所在院系： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩 试卷说明： 本次考试为 闭 卷考试。认真审题，请勿漏答； 考试时间为 120 分钟，请掌握好答题时间； 本试卷所有试题答案写在 试卷 纸上，其它无效； 答题完毕，请将试卷纸正面向外对叠交回，不得带出考场； 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”） （每小题3分，共 12 分） 1、若方程组含有自由未知量，则方程组将有无穷多解.（ × ） 2、一个阶矩阵为非奇异的，当且仅当相抵于（是单位矩阵.（ √ ） 3、任何两个迹相同的阶矩阵是相似的.（ × ） 4、设是矩阵，则. （ √ ） 二、单项选择题(在每小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内) (每题3分, 共 15 分) 1、已知（ ） ； ； ； , 2、均为阶方阵，且，则 ( C ). 均为零矩阵； 至少有一个矩阵为奇异矩阵； 至少有一个为零矩阵； 均为奇异矩阵. 3、是维向量组线性相关的( A )条件. 充分； 必要； 充分必要； 必要而不充分的； 4、设为齐次线性方程组的解，为非齐次线性方程组的解，则( C ). 为的解； 为的解； 为的解； 为的解. 5、 设是正交矩阵，是的第列，则与的内积等于（ ） ； ； ； 三、填空(将正确答案填在题中横线上，每题3分, 共 21 分) 1、设A为三阶方阵，且，则　1/16　　 2、设都是维行向量，且行列式 ，则__16_____. 3、设是阶矩阵，若齐次线性方程组的基础解系中含有一个解向量， 则 O 4、设矩阵，若、可逆，则也可逆且 5、若方程组 有解, 则 7 6、设，则当k=　1/4　　时，线性相关。 7、满足时, 二次型 是正定的. 四、设,且， 求. （8分） 五、设 求已知的向量组的一个含有的极大线性无关组，并将其余向量用它线性表示。 （8分） 向量组的一个含有的极大线性无关组为， 六、求方程组的基础解系，并用它表示出方程组的通解. (10分) 解：对系数矩阵作初等变换： , 基础解系是 通解为 （为任意常数〕 七、 已知 是的一组基, 设，(8分 ) 求由基到基的过渡矩阵. 求在基下的坐标. 解：由基到基的过渡矩阵为 所以由基到基的过渡矩阵为 故向量在基下的坐标为: 八、用正交变换化二次型 为标准形， 并写出 所用正交变换。(12分) 解： 正交矩阵经正交变换，化为标准形： 九、设为矩阵，证明:?如果, 那么 秩+秩. (6分) 证明：将分块为：，因为已知 所以 是方程组的解 取出方程组的一个基础解系：，其中 所以可由线性表出 故 秩秩秩 秩+秩 1