2025版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何2空间向量在立体几何中的应用2空间中的平面与空间向量第1课时平面的法向量及线面位置关系学案新人教B版选择性必修第一册.docx
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第1课时平面的法向量及线面位置关系
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用向量语言描述平面,理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量.
2.能用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直.
1.数学抽象——能理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量.
2.逻辑推理——会用向量法证明直线与平面平行、垂直.
自主学习·必备学问
教材研习
教材原句
要点一平面的法向量
1.法向量的概念
假如α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α①垂直,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记作②n⊥α
2.法向量的性质
依据定义可知,平面的法向量有如下性质:
（1）假如直线l垂直平面α,则直线l的③随意一个方向向量都是平面α的一个法向量;
（2）假如n是平面α的一个法向量,则对随意的实数λ≠0,空间向量λn也是平面α的一个法向量,而且平面α的随意两个④法向量
（3）假如n为平面α的一个法向量,A为平面α上一个已知的点,则对于平面α上随意一点B,向量AB肯定与向量n垂直,即⑤AB?n=0,从而可知平面α的位置可由n
要点二直线、平面垂直、平行的判定
假如v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则n//v?⑥l⊥α;n⊥v
自主思索
1.零向量为什么不能作为平面的法向量?
答案：提示因为平面的法向量是用来描述空间中平面的位置的,而零向量的方向是随意的,所以无法用零向量来描述空间中平面的位置,即零向量不能作为平面的法向量.
2.假如a,b与平面α共面且n⊥a,
答案：提示当a,b共线时,n不肯定是平面
3.若直线l的一个方向向量为v=(-2,3,0),平面α的一个法向量为n=(1,-32,0),则直线l
答案：提示当n=(1,-32,0)时,
当n=(3,2,0)时,因为v?n=0,所以v⊥n
名师点睛
1.平面法向量的确定通常有两种方法
（1）干脆找寻：当几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可.
（2）待定系数法：当几何体中没有详细的直线可以作为法向量时,依据已知平面内的两条相交直线的方向向量,可以建立空间直角坐标系,运用待定系数法求解平面的法向量.
2.求平面的法向量时,只需构建两个方程求解即可.这是因为依据线面垂直的判定定理可知,只要直线垂直于该平面内的随意两条相交直线,它就垂直于该平面,也就垂直于该平面内的随意一条直线,所以法向量的坐标只要满意两个方程就可以了,从这个角度也可以说明一个平面的法向量有多数个,并且这些法向量都是平行的.
互动探究·关键实力
探究点一求平面的法向量
自测自评
1.（多选)（2024山东青岛二中高二月考）已知直线l过点P(1,0,-1),且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α
A.(1,-4,2)B.(
C.(-1
答案：A;B;C
解析：由题意可知,平面α的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM,
PM=(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4)
选项A,(2,1,1)?(1,-4,2)=0,(0,2,4)?(1,-4,2)=0,满意垂直,故正确;
选项B,(2,1,1)?(14,-1,
选项C,(2,1,1)?(-14,1,-
选项D,(2,1,1)?(0,-1,1)=0,但(0,2,4)?(0,-1,1)≠0,故错误.
2.在三棱锥P-ABC中,CP、CA、CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量中是平面PAB的一个法向量的是()
A.(1,1,12
C.(1,1,1)D.(2,-2,1)
答案：A
解析：∵A(1,0,0),B(0,1,0),P(0,0,2),∴PA=(1,0,-2),AB=(-1,1,0)
由n?PA→=0,
∴n
又(1,1,12)=12n,
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.
答案：建立如图所示的空间直角坐标系.
依题意可得D(0,0,0),P(0,0,1),E(0,12,12),B(1,1,0),则DE=(0,12,12),DB=(1,1,0).设平面EDB
解题感悟
利用待定系数法求平面法向量的步骤
（1）设向量:设平面的一个法向量为n=(x,y,z)
（2）选向量:在平面内选取两个不共线的向量AB,
（3）列方程组:由n⊥
（4）解方程组:n
（5）赋非零值:取其中一个为非零值（常取±1）.
（6）得结论:得到平面的一个法向量.
探究点二利用空间向量证明线面平行
精讲精练
例如图,在长方体ABC