线性代数（丁友征）第一章 行列式（3）.ppt

第 一 章 第一次课重点和难点 重点: 三阶行列式的计算, n阶行列式的定义. 几种特殊的行列式. 难点: n阶行列式的三种定义. 第二次课重点和难点 重点: 行列式的五个性质和按行列展开定理. 难点: 1.化上三角形法计算行列式 第三次课重点和难点 n阶行列式的计算方法 2. 降阶法（先化简，再用降阶法） 3. 数学归纳法 4. 递推法 5. (加边法)箭形行列式 克莱姆法则求方程组的解。 * 线 性 代 数 丁友征 领作业: 下午3点 BG609西. 线性方程组 与行列式 行列式的概念 行列式的性质 与计算 克莱姆法则解 线性方程组 余子式与代数余子式 在 n 阶行列式中，把元素 所在的第 i 行和 留下的 n-1阶行列式叫做元素 的余子式， 记作 ； 记 叫做元素 的代数余子式. 如 第j列划去后， §5 行列式按行（列）展开 例如 代数余子式乘积之和。 或 行列式按行（列）展开法则 例如 展开 按第二行 定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的 又 从而 证 （先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。 (1) 假定行列式D的第一行除 外都是 0 。 先将 调换到第一行， 调换次数为 i-1, 再将 调换到第一列， 调换次数为 j-1次， (2) 设 D 的第 i 行除了 外都是 0 。 (3) 一般情形 例1：计算 解： 例2：计算 解： 先把某行（列）消出更多的0，然后用降阶法 例3： 计算 解 按第一行展开 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 按行列展开+递推法 例5. 证明 证： 用数学归纳法证。 当 n=2 时， 显然成立。 现假设对于n-1阶范德蒙德行列式成立， 例 后面减前面 Vandermonde行列式 证毕 数学归纳法 例4 计算 n 阶行列式 解 箭形行列式 将 Dn 加边, 构成一个n+1阶的行列式 加边法（观察特点） 推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 即 和 证： 同理可证列的情形。 例7：设 解： 求 及 根据展开定理 §6 克莱姆(Cramer)法则 n元一次线性方程组 (1) 一.线性方程组 对于方程组(1),若 不全为零,则称(1)为非齐次线性方 程组; 若 , 即 (2) 称(2)为齐次线性方程组. n元一次线性方程组 (3) 如果线性方程组（3）的系数行列式 那么，方程组有唯一解： （证略） 克莱姆法则 二.克莱姆法则 例1： 解线性方程组 解： ∴ =81 如果（3）无解或有两个不同的解，则D=0 推论 (3) (4) 一定是（4）式的解 ——零解。 若有一组不全为零的数是（4）式的解 ——非零解。 如果(4)的系数行列式 D≠0， （有唯一零解） 如果(4)有非零解， 定理 推论 则它的系数行列式必为零。 则(4)式没有非零解。 例2 问λ取何值时，齐次线性方程组 有非零解？ 解： 若有非零解， 必须其系数行列式D＝0。 ∴ 或 或 * *