线性代数教案_第一章_行列式.doc
授课章节行列式§1.1n阶行列式
目的要求理解二阶与三阶行列式,了解全排列及其逆序数。
重点二阶与三阶行列式计算，行列式的性质，克拉默法则
难点n阶行列式的计算，克拉默法则
行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，是线性代数中的一个基本概念，它在线性代数、其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：
(1)行列式的定义；
(2)行列式的基本性质及计算方法；
(3)利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则).
本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式.
计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法.
行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件.
§1n阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
解方程是代数中一个基本的问题，行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题.
下面考察二元一次方程组
（1.1）
当aa-aa≠0时，由消元法知此方程组有唯一解，即
11221221
x=
1
ba-ab
122122
aa-aa
11221221
x=
2
ab-ab
112211
aa-aa
11221221
（1.2）
可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数a,a,a,a以及常数项
11122122
b,b表示出来，这就是一般二元线性方程组的解公式。
12
但这个公式很不好记忆，应用时十分不方便。由此可想而知，多元线性方程组的解公式肯定更为复杂。因此，我们引进新的符号来表示上述解公式，这就是行列式的起源。
a12a22a11a21称1、二阶行列式：由
a12a22
a11a21
称
11122122
为二阶行列式。
注：(1)构成：二阶行列式含有两行，两列。横排的数构成行，纵排的数构成列。
行列式中的数a（i1,2;j1,2）称为行列式的元素。行列式中的元素用小写英文
ij
字母表示，元素a的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j称
ij
为列标，表明该元素位于第j列。相等的行数和列数2称为行列式的阶。
(2)含义：它按规定的方法表示元素a11,a12,a21,a22的运算结果，即为：由左上至
右下的两元素之积a11a22，减去右上至左下的两元素之积a12a21。其中每个积中的两
个数均来自不同的行和不同的列。
或者说：二阶行列式是这样的两项的代数和，一项是从左上角到右下角的对角线
(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一项是从右上角到左下角的对
角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号。即：
a12a
a12
a22
a21
这就是对角线法则。
【例1】计算下列行列式的值
02201
0
2
2
0
1
1
（1）（2
（1）
（2）
3034
3
0
12
【解】（1）14232
【解】（1）
34
02
0
2
（2）120
（2）
0
21
（3）23(1)06
03
λ1λ23
λ1
λ23
为何值时，行列式D=
【例2】当
的值为0？
λ1λ23【解】因为D==λ2-3λ=
λ1
λ23
【解】因为D=
λ23λ1的值为0。要使λ(λ-3)=0，须使λ=0或λ=3，即知，当λ=0或λ
λ23
λ1
的值为0。
aa
a
aaaa
aa
aa
11
21
12
a112