管理运筹学第四版第三章习题答案.docx

?一、习题3-1

（一）题目

1.用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

-（1）\(max\z=3x_1+5x_2\)

-s.t.\(\begin{cases}x_1\leq4\\x_2\leq6\\3x_1+2x_2\leq18\\x_1\geq0,x_2\geq0\end{cases}\)

-（2）\(max\z=3x_1+2x_2\)

-s.t.\(\begin{cases}x_1+x_2\geq2\\x_1-x_2\leq2\\-x_1+x_2\leq2\\x_1\geq0,x_2\geq0\end{cases}\)

-（3）\(max\z=5x_1+3x_2\)

-s.t.\(\begin{cases}x_1+2x_2\geq6\\x_1-x_2\leq4\\x_1\leq6\\x_1\geq0,x_2\geq0\end{cases}\)

2.已知线性规划问题\(max\z=2x_1+3x_2\)

-s.t.\(\begin{cases}x_1+x_2\leq10\\2x_1+x_2\leq16\\x_1\geq0,x_2\geq0\end{cases}\)

-（1）用图解法找出最优解，并求出最优值。

-（2）若目标函数变为\(max\z=cx_1+3x_2\)，当\(c\)为何值时，最优解不变？

-（3）若目标函数变为\(max\z=2x_1+cx_2\)，当\(c\)为何值时，问题有无界解？

（二）答案

1.

-（1）

-首先，画出可行域：

-约束条件\(x_1\leq4\)表示直线\(x_1=4\)左侧的区域（包括直线）。

-约束条件\(x_2\leq6\)表示直线\(x_2=6\)下方的区域（包括直线）。

-对于约束条件\(3x_1+2x_2\leq18\)，令\(3x_1+2x_2=18\)，当\(x_1=0\)时，\(x_2=9\)；当\(x_2=0\)时，\(x_1=6\)，画出直线\(3x_1+2x_2=18\)，其下方区域（包括直线）为可行域。

-可行域是由点\(O(0,0)\)，\(A(4,0)\)，\(B(4,3)\)，\(C(0,6)\)围成的四边形区域。

-然后，求目标函数\(z=3x_1+5x_2\)的最优解：

-目标函数的斜率\(-\frac{3}{5}\)，通过平移目标函数直线\(z=3x_1+5x_2\)，发现当直线经过点\(B(4,3)\)时，\(z\)取得最大值。

-把\(x_1=4\)，\(x_2=3\)代入目标函数\(z=3x_1+5x_2\)，可得\(z_{max}=3\times4+5\times3=27\)。

-此问题具有唯一最优解。

-（2）

-画出可行域：

-对于约束条件\(x_1+x_2\geq2\)，令\(x_1+x_2=2\)，当\(x_1=0\)时，\(x_2=2\)；当\(x_2=0\)时，\(x_1=2\)，画出直线\(x_1+x_2=2\)，其上方区域（包括直线）为可行域。

-对于约束条件\(x_1-x_2\leq2\)，令\(x_1-x_2=2\)，当\(x_1=0\)时，\(x_2=-2\)；当\(x_2=0\)时，\(x_1=2\)，画出直线\(x_1-x_2=2\)，其下方区域（包括直线）为可行域。

-对于约束条件\(-x_1+x_2\leq2\)，令\(-x_1+x_2=2\)，当\(x_1=0\)时，\(x_2=2\)；当\(x_2=0\)时，\(x_1=-2\)，画出直线\(-x_1+x_2=2\)，其下方区域（包括直线）为可行域。

-可行域是一个无界的多边形区域。

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