傅立叶变换的性质证明.ppt

若，则1说明:信号在时域中乘以，实际上是将信号在频域当中将整个频谱沿频率轴右移ω0个单位。频谱搬移技术在通信中得到了广泛的应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成。频谱搬移的原理是将信号乘以所谓载波信号。一般载波信号选取为正弦信号或。2三、频移性质三、频移性质若，为任意实常数，则当a=－1时，有说明:信号在时域中压缩（a1）等效于在频域中扩展信号在时域中扩展（a1）等效于在频域中压缩。在无线通信中，通信速度与占用带宽是一对矛盾。物理意义:信号的波形压缩a倍，则信号随时间变化加快a倍，则它包含的频率分量也增加等效于在频域中扩展a倍，即信号的频谱扩展a倍。根据能量守恒定理，各频率分量大小必然减小a倍。四、尺度变换性质四、尺度变换性质四、尺度变换性质如果是尺度变换和时移同时发生，则有下面性质：即延时t0尺度变换a延时t0尺度变换a尺度变换a延时t0/a尺度变换a延时t0/a或01040203若f(t)是实函数说明：对实时间信号，信号的幅频为偶对称，相频为奇对称，傅立叶变换的实部为偶对称，虚部为奇对称。其中则五、共轭对称性若f(t)为实偶函数，即f(t)=f(?t)，此时则F(ω)＝R(ω)必为ω的实偶函数。其中是的复共轭。若f(t)为实奇函数，即f(t)=?f(?t)，此时则F(ω)＝jX(ω)必为ω的虚奇函数。对任意信号f(t)，若则有五、共轭对称性若，则1根据傅立叶反变换2即有3所以4得5亦即6证明:7若为实偶函数，则8六、正反变换的对称性六、正反变换的对称性说明:若f(t)的傅立叶变换为F(ω)，则形状为F(ω)的波形对应傅立叶变换就是2πf(?t)。若f(t)是实偶函数，则时域与频域完全对称。例:求取样信号的频谱。解：此题直接用傅立叶变换的定义公式求信号频谱很麻烦，这里根据傅立叶变换的对称性来求。由前面知道，高度为E，宽度为τ的对称矩形脉冲的频谱为根据傅立叶变换的对称性，有上式中，令，E=1，则有123六、正反变换的对称性若01由时移性质得02所以03证明：04则05即06七、时域卷积性质令得频域卷积也称调制定理，表示用信号去调制另一信号振幅。则所以若证明：八、频域卷积性质若,则01两边对时间变量t求导得03说明：在频域分析中常利用这一性质来分析微分方程描述的LTI系统。05证明：由傅立叶反变换02推广：对高阶导数情况，有04九、时域微分性质若，则证明：对信号的积分可以看成是信号与阶跃函数的卷积，然后利用时域卷积性质有如果f(t)的积分为零，即则所以有32145十、时域积分性质信号与系统信号与系统信号与系统§3.4傅立叶变换的性质若则其中，a,b均为常数。说明:相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。一、线性性质例:二、时移性质若，则说明:信号在时域的中的延时和频域中的移相相对应。应用：要使信号f(t)经过系统传输之后延时t0，则必须设计成使系统的每一个频率分量都滞后相位ωt0，否则会引起失真。解：例：求图(a)所示