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几何变换题库 （奥数小丛书几何变换） 设P是□ABCD的内部一点，若∠ABP=2∠ADP，∠DCP=2∠DAP，求证：AB=BP=CP。（第25届澳大利亚MO） 在△ABC中，AB=AC，CD是角平分线，过△ABC的外心作CD的垂线交AC于E，过E作CD的平行线交AB于F，证明：AE=FD。（第22届俄罗斯MO） 已知平面上三个相等的圆⊙O1、⊙O2、⊙O3，它们两两相交于A、B、C、D、E、F，证明：∠AO1B+∠CO2D+∠EO3F=180°。（第10届全苏MO） 设E、F分别是□ABCD的边AB和BC的中点。线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ//PC，证明：△PEF和梯形APCQ的面积相等。（第20届俄罗斯MO） 设△ABC的外接圆上的一点P关于边AC的中点的对称点为Q，H为△ABC的垂心，直线BH交CA于D，E为直线HQ上一点，求证：DE//AP的充分必要条件是AE//PB。 设E、F分别为ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD交于P、Q两点，BE+DF=EF，求证：五边形PECFQ内接于圆。（第29届IMO加拿大队培训） 一个大正方形内有一个小正方形PQRS，延长PQ、QR、RS、SP与大正方形依次交于A、B、C、D，求证：ACBD。（2002年南非数学奥林匹克） P是△ABC中∠A的平分线上一点，BP、CP分别交AC、AB于E、F，证明：BE=CF，则△ABC为等腰三角形。(Lehmus-Steiner定理的一个推广) 在△ABC中，∠BAC=40°，∠ABC=60°，D和E分别是边AC和AB上的点，使得∠CBD=40°，∠BCE=70°，F是直线BD和CE的交点，求证：AF⊥BC。（第30届加拿大MO） 设⊙O的内接四边形ABCD的一组对边AB与CD交于点P，⊙PCA与⊙PBD交于点P、Q，求证：PQ⊥OQ。（第25届俄罗斯MO） 在等腰三角形ABCD中，AB//CD，△BCD的内切圆CD于E，F是∠DAC的平分线上一点，且EF⊥CD，△ACF的外接圆与CD交于C和G，求证：△AFG是等腰三角形。（第28届美国MO） 证明：三角形中，较小角的角平分线大于较大角的角平分线。 设G为△ABC的重心，证明：AB+GC=AC+GB，则△ABC是等腰三角形。（第32届西班牙MO） 证明Pascal定理：圆内接六边形三组对边（所在直线）的交点共线。 设四边形ABCD中，对边AB与CD（所在直线）交于E，BC与DA交于F；取点X、Y，使四边形BCDX与CEYF皆为平行四边，求证：A、X、Y共线。 证明Newton定理：圆外切四边形对边切点的连线及两对角线，四线共点。 已知△ABC的内切圆分别切三边BC、CA、AB于D、E、F，从BC、CA、AB的中点L、M、N分别作EF、FD、DE的垂线l、m、n，证明：l、m、n共点，并指出这点在△ABC中的位置。（第29届IMO中国国家队集训队测试） 在△ABC中，∠A=90°，∠B∠C，过点A作外接圆Г的切线交直线BC于D，设点A关于直线BC的对称点E，过点A作AX⊥BE于X，AX的中点为Y，BY与圆Г交于Z，证明：BD为△ADZ的外接圆的切线。（第39届IMO预选） 设P和Q是△ABC内部两点，且∠BAP=∠QAC，∠PBA=∠CBQ，证明：。（第39届IMO预选） 设O是凸四边形ABCD的两对角线的交点，证明：△AOB和△COD的重心的连线与△BOC和△DOA的垂心的连线互相垂直。（第44届IMO中国国家集训队培训） 设ABCD是圆内接四边形，AC是圆的直径，BD⊥AC，AC与BD的交点为E，F在DA的延长线上，连结BF，G在BA的延长线上，使得DG//BF，H在GF上，CH⊥GF，证明：B、E、F、H共圆。（第2届中国女子数学奥林匹克） 证明Steiner定理：设D、E为△ABC的边BC上两点，且∠BAD=∠CAE，则。 已知圆内接凸四边形ABCD，F是AC与DE交点，E是AD与BC的交点，M、N分别是AB和CD的中点，求证：。103 圆S与S′相交于P、Q两点，A、B（异于P、Q）是S上两个不同的动点，直线AP、BP分别交S′于点A′、B′，直线AB与A′B′交于点C，求证：△AA′C的外心在一个固定的圆上。（第43届IMO预选） 已知两个半径不等的圆⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T，求证：OM⊥MN的充要条件是S、N、T共线。（1997年全国高中联赛）131 ⊥ △ ∠ □ ° ⊙ ∽ ≥ ′ ≠ Г θ 设E和F是凸四边形ABCD内部的两个点，