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《计算机数学基础(2)》辅导) 第11章 函数插值与最小二乘拟合(2002级(秋季)用) 中央电大 冯 泰 第11章 函数插值与最小二乘拟合 一、重点内容 (函数插值 已知函数f(x)的函数值yk=f(xk),k=0,1,2,…,n．构造一个多项式P(x)，使得P(xk)=yk.f(x)(P(x)．P(x)称插值多项式，f(x)是被插函数，xk是插值节点．误差R(x)=f(x)－P(x). (拉格朗日插值多项式 用n次多项式 Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)= 逼近函数f(x)，即f(x)(Pn(x)，且满足 Pn(xk)=yk(k=0,1,2…,n).其中基函数 (k=0,1,2,…，n) 当n=1时，线性插值 P1(x)=y0 l0(x)+y1l1(x) 其中基函数 ,． 当n=2时，就是二次插值，.二次多项式P2(x)=yk－1lk－1+yklk+yk+1lk+1 其中基函数 拉格朗日插值多项式的余项为 其中， 注意：过n+1个互异节点，所得插值多项式应该是次数不超过n的多项式． (均差与牛顿插值多项式 函数值之差与自变量之差的商就是均差． 一阶均差 二阶均差 … … … … n阶均差 均差有两条常用性质： 均差用函数值yk的线性组合表示；即 f(x0,x1,x2,…,xn)= (2)均差与插值节点顺序无关(对称性). n阶均差与导数的关系为： 以均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式，为 Nn(x)= f(x0)＋f(x0,x1)(x－x0)＋f(x0,x1,x2)(x－x0)(x－x1) ＋…＋f(x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1) 牛顿插值多项式的余项为 Rn(x)=f(x)－Nn(x) =f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn) = (分段线性插值 用分点a=x0x1…xn=b将区间[a,b]分成n个子区间[xk, xk+1](k=0,1,…,n－1)．在子区间[xk, xk+1]上用一次多项式Qk(x)近似函数y=f(x)，将Qk(x)(k=0,1,…,n)组合在一起，得到[a,b]上的折线形式的函数P(x)，它满足：(1)P(x)在[a ,b]上连续；(2) P(xk)=yk(k=0,1,2,…,n)；(3)P(x)在子区间[xk ,xk+1]上是线性函数．P(x)为 分段线性插值函数： 其中lk(x)(k=0,1,2,…,n)是分段线性插值基函数，具体写出为 li(x)= ln(x)= (三次样条插值函数 用分点a=x0x1…xn=b将区间[a,b]分成n个子区间[xk, xk+1](k=0,1,…,n－1)．构造三次样条函数S(x)：(1) 在区间[a,b]上有二阶连续导数；(2)满足S(xk)=yk(k=0,1,…,n)；(3)在子区间[xk, xk+1]上是三次多项式． (最小二乘法 用((x)拟合n对数据(xk,yk) (k=1,2,…,n)，使得误差平方和 最小，求((x)的方法，称为最小二乘法． (1) 直线拟合 若，a0,a1满足法方程组 即a0, a1是法方程组的解． (2) 二次多项式拟合 若满足法方程组 即a0, a1，a2是法方程组的解.． 二、实例 例1 已知数据表 xk 10 11 12 13 f(xk) 2.302 6 2.397 9 2.484 9 2.564 9 试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数)． 解 因为11.75更接近12，故应取11，12，13三点作二次插值．先作插值基函数． 已知x0=11,y0=2.397 9，x1=12,y0=2.484 9 ，x2=13,y2=2.564 9 P2(x)= f(11.75)(P2(11.75)= =2.463 8 注：若用线性插值，因为所求点x＝11.75在11与12之间，故应取x=11,x=12作线性插值合适． 在作函数插值时，应根据要求，使所求位于所取的中央为好，任意取点一般近似的效果差些． 例2 设是