第3章矩阵代数.ppt

东华大学 MATLAB数学实验 3.4 建模实验：投入产出分析和基因遗传 1、投入产出分析 2、基因遗传 1、投入产出分析 设有n个经济部门，xi为部门i的总产出，cij为部门j单位产品对部门i产品的消耗，di为外部对部门i的需求，fj为部门j新创造的价值。那么各经济部门总产出应满足下列关系式： 消耗平衡方程组： j=1,2,…,n 分配平衡方程组： i =1,2,…,n 所有部门对i的消耗 j对所有部门的消耗 * * 第三章 矩阵代数 3.1 预备知识：线性代数 3.2 矩阵代数的MATLAB函数 3.3 计算实验：线性方程组求解 3.4 建模实验：投入产出分析和基因遗传 3.5 扩展实验：病态方程组和矩阵分解 3.6 习题 3.1 预备知识：线性代数 2、逆矩阵 3、特征值与特征向量 1、线性方程组 1、线性方程组 记为 A x = b 其中A =(aij)m×n x = (x1, …,xn)’, b = (b1, …, bm)’ 若秩(A) ? 秩(A,b)，则无解； 若秩(A) = 秩(A,b) = n, 存在唯一解； 若秩(A) = 秩(A,b) n, 存在无穷多解； 通解是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解 系与 Ax=b 的一个特解之和。 对于线性方程组 Ax = b： Ax = 0 为齐次的线性方程组 2、逆矩阵 定义：方阵A称为可逆的，如果存在方阵B，使A B = B A = E，记 B = A-1 方阵A可逆的充分必要条件:?A??0 求逆矩阵方法： A-1 =A*/|A| 这里A*为A的伴随矩阵 （A E） 行变换 （E A-1） 3.2 矩阵代数的MATLAB函数 1、矩阵运算符 2、特殊矩阵的生成 3、矩阵处理 4、行列式、逆矩阵和特征值 1、矩阵运算符 A’ 矩阵共轭转置,非共轭转置用A.’ A+B与A-B 加与减 k*A或A*k 数乘矩阵 A.^k 矩阵乘方 k+A与k-A 数与矩阵加减k*ones(size(A))+A 左除A\B 为AX=B的解 右除B/A 为XA=B的解 k.*A或A.*k a=[1+2i 2 3;4 5 6]; a. ans = 1.0000 + 2.0000i 4.0000 2.0000 5.0000 3.0000 6.0000 A’与A.’的区别： a=[1+2i 2 3;4 5 6]; a ans = 1.0000 - 2.0000i 4.0000 2.0000 5.0000 3.0000 6.0000 A’ －共轭转置 A.’ －非共轭转置 矩阵的运算(左除和右除) 左除“ \ ”： 求矩阵方程AX=B的解；(A 、B的行要保持一致) 解: X=A\B； 当A为方阵且可逆时 X=A\B=inv(A)*B； 右除“ / ”： 求矩阵方程XA=B的解 ( A 、B的列要保持一致) 解: X=B/A ， 当A为方阵且可逆时 X=B/A=B*inv(A) 2、特殊矩阵的生成 zeros(m,n) 生成m行n列的零矩阵; ones(m,n) 生成m行n列的元素全为1的阵; eye(n) 生成n阶单位矩阵; rand(m,n) 生成m行n列[0,1]上均匀分布随机数矩阵 3、矩阵处理 trace(A) 返回矩阵A的迹(对角线元素的和) diag(A) 当A是矩阵,返回A的对角线元素构成的向量; diag(X) 当X是向量,返回由X的元素构成的对角矩阵. tril(A) 提取矩阵A的下三角部分 triu(A) 提取矩阵A的上三角部分 flipud(A) 矩阵上下翻转 fliplr(A) 矩阵左右翻转 分析下列函数的功能： function A = matrix(n) Ea = 6 * eye(n-1); %构造上三角 rn = zeros(1, n-1); Ea = [Ea; rn]; cn = zeros(n,1); Ea = [cn, Ea];