线性微分方程组解的存在唯一性定理.ppt

§ 5.1 线性微分方程组解的 存在唯一性定理 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs  * * ? 掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。 ? 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。 ? 熟练掌握解的逐次逼近序列的构造方法。 本节要求/Requirements/ 5.1.1 记号与定义/Symbol and Definition/ 一阶微分方程组 初值条件 § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs 一阶线性微分方程组 …(5.1) § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs ……….(5.2) ……(5.3) ………….(5.4) § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs 可定义矩阵与向量函数 在区间 连续: 连续。 在区间 可微: 可微。 在区间 可积: 可积。 在区间 § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs 上的连续 维向量，方程组 上连续且满足 定义1 设 是区间 上的连续 矩阵， 是区间 ………….(5.4) 在某区间 的解就是向量 在区间 § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs 定义2 初值问题(Cauchy Problem) ………….(5.5) 的解就是方程组(5.4)在包含 使得 § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs 例1 验证向量 是初值问题 在区间 上的解。 解 因此 是给定初值问题的解。 § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs 5.1.2 n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价 例1 令 解 § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs 满足 解 构造向量 § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs 解 满足 § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs 令 § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs ………(5.6) 等价 ………(5.7) § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs 例2 令 将初值问题 化为与之等价的一阶方程组的初值问题。 解 § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs 例3 将下列方程组化为高阶方程 解 注意：不是所有方程组都可化为高阶方程 § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs 5.1.3 存在唯一性定理 初值问题(Cauchy Problem) ………….(5.5) § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs 定理1 f (t)是 n 维列向量， 上连续，则对于区间 上的任何数 及任一常数向量 方程组(5.5)存在唯一解 定义于整个区间 上，且满足初始条件 如果 矩阵， 它们都在区间 § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs 现取 ，构造皮卡逐步逼近向量函数序列： 向量函数 称为(5.4)的第 k 次近似解。 § 5.1 Existence Uniqueness Theorems of Linear ODEs