解的存在唯一性定理.ppt

作业 P78 1,3,4,8 * * 第三章  一阶微分方程的解的存在定理 问题的提出 在前一章中，我们学习了用初等方法求解一阶方程的几 种类型。但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出 其通解，而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条 件的解。因此把问题集中在Cauchy问题 求解上，与代数方程类似，对于不能用初等方法求解的微 分方程，往往采用数值方法求解。这就需要解决以下问题 需解决的问题 §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 一 存在唯一性定理 1 定理1 考虑初值问题 (1) 初值问题(3.1)的解等价于积分方程 的连续解. 证明思路 (2) 构造(3.5)近似解函数列 (逐步求(3.5)的解,逐步逼近法) 这是为了 即 下面分五个命题来证明定理,为此先给出 积分方程的解 如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程. 积分方程 命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程 证明: 即 反之 故对上式两边求导,得 且 构造Picard逐步逼近函数列 问题:这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分 是否有意义? 注 命题2 证明:(用数学归纳法) 命题3 证明: 考虑函数项级数 它的前n项部分和为 对级数(3.9)的通项进行估计 于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有 现设 命题4 证明: 即 命题5 证明: 由 综合命题1—5得到存在唯一性定理的证明. 一 存在唯一性定理 1 定理1 考虑初值问题 命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程 构造Picard逐步逼近函数列 命题2 命题3 命题4 命题5 2 存在唯一性定理的说明