解的存在唯一性定与逐步逼近法.ppt

2) 定理1 中的两个条件是保证 Cauchy 问题存在 唯一的充分条件，而非必要条件。 例2 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。 f(x,y) 在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一 § 3.1 Existence Uniqueness Theorem Progressive Method 例3 当 Lipscitz 条件不满足时，解也可能存在唯一。 f(x,y) 在 (x,0) 的任何邻域内不满足Lipscitz 条件，但解存在唯一 不可能有界 § 3.1 Existence Uniqueness Theorem Progressive Method x y § 3.1 Existence Uniqueness Theorem Progressive Method 例4 设方程(3.1)为线性方程 则当 P(x),Q(x) 在区间 上连续，则由任一初值 所确定的解在整个区间 上都存在。 3） 若f (x,y)在带域 中连续， 且对 y 满足Lipschitz条件，则在整个区间 中存在唯一满足条件 的方程 的解 。记 § 3.1 Existence Uniqueness Theorem Progressive Method 4) 一阶隐式方程的解的存在唯一性 定理 2 如果在点 的某一邻域中， 对所有的变元 连续，且 存在连续的偏导数； 则上述初值问题的解在 的某一邻域存在且唯一。 § 3.1 Existence Uniqueness Theorem Progressive Method 事实上，由条件知 所确定的隐函数 在 邻域内存在且连续，且 在 邻域内连续，在以 为中心的某一闭矩形区域 D 中有界，所以 f(x,y) 在D 中关于 y 满足Lipschitz条件。 由解的存在唯一性定理， 的解 y(x) 存在唯一， 存在区间中的 h 可足够小。同时，有 § 3.1 Existence Uniqueness Theorem Progressive Method 三 、 近似计算和误差估计 第 n 次近似解 第 n 次近似解的误差公式 § 3.1 Existence Uniqueness Theorem Progressive Method 例5 方程 定义在矩形域 试确定经过点 (0,0) 的解的存在区间，并求在此区间上与真 正解的误差不超过0.05 的近似解的表达式。 解 满足解的存在唯一性定理的条件 Lipschitz 常数取为 L=2 ，因为 § 3.1 Existence Uniqueness Theorem Progressive Method § 3.1 Existence Uniqueness Theorem Progressive Method 例6 求初值问题 解的存在唯一区间. 解 例7 利用Picard迭代法求初值问题 的解. 解 与初值问题等价的积分方程为 其迭代序列分别为 取极限得 即初值问题的解为 作业 P.88 第1, 3, 4 ，7题 * § 3.1 解的存在唯一性定理和逐步逼近法 /Existence Uniqueness Theorem Progressive Method/  概念和定义 存在唯一性定理 内容提要/Constant Abstract/ § 3.1 Existence Uniqueness Theorem Progressive Method 本节要求/Requirements/ ? 掌握逐步逼近方法的基本思想 ? 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论 § 3.1 Existence Uniqueness Theorem Progressive Method 一 、概念与定义/Concept and Definition/ 1. 一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示 § 3.1 Existence U