不等式及线性规划.pdf

2022年高考数学总复习：不等式及线性规划

1．不等式的四个性质

注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如

(1)ab，c0⇒acbc，ab，c0⇒acbc.

(2)ab0，cd0⇒acbd.

nn

(3)ab0⇒ab(n∈N，n≥1)．

nn

(4)ab0⇒ab(n∈N，n≥2)．

2．四类不等式的解法

(1)一元二次不等式的解法

2

先化为一般形式ax＋bx＋c0(a≠0)，再求相应一元

2

二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确

定一元二次不等式的解集．

(2)简单分式不等式的解法

fx

0(0)⇔f(x)g(x)0(0).

gx

fx

≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

gx

(3)简单指数不等式的解法

fxgx

当a1时，a()a()⇔f(x)g(x)；

fxgx

当0a1时，a()a()⇔f(x)g(x).

(4)简单对数不等式的解法

当a1时，logf(x)logg(x)⇔f(x)g(x)0；

aa

当0a1时，logf(x)logg(x)⇔g(x)f(x)0.

aa

3．基本不等式

(1)基本不等式的常用变形

①a＋b≥2ab(a0，b0)，当且仅当a＝b时，等号成立．

a＋b

222

②a＋b≥2ab，ab≤(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立．

ba

③＋≥2(a，b同号且均不为零)，当且仅当a＝b时，等号成立．

ab

11

④a＋≥2(a0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a0)，当且仅当a＝－1时，

aa

等号成立．

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a2＋b2a＋b2

⑤a0，b0，则≥≥ab≥，当且仅当a＝b时取等号．

2211

＋

ab

(2)利用基本不等式求最

a＋bS2

已知a，b∈R，则①若a＋b＝S(S为定)，则ab≤()2＝，当且仅当a＝b时，ab

24

S2

取得最大.

4

②若ab＝T(T为定值，且T0)，则a＋b≥2ab＝2T，当且仅当a＝b时，a＋b取得

最小2T.

4．求目标函数的最优解问题

y－b

(1)“斜率型”目标函数z＝(a，b为常数)，最优解为点(a，b)与可行域上点的连线

x－a

的斜率取最值时的可行解．

(2)“两点间距离型”目标函数z＝x－a2＋y－b2(a，b为常数)，