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概率论与数理统计试卷(答案)

一、选择题（每题3分，共15分）

1.设事件A和B满足$P(AB)=P(A)$，则（）

A.A与B互斥

B.$P(B)=0$

C.A包含B

D.A与B相互独立

答案：A

解析：根据概率的性质$P(AB)=P(A)P(AB)$，已知$P(AB)=P(A)$，则$P(A)P(AB)=P(A)$，可得$P(AB)=0$。若两个事件的交集概率为0，则这两个事件互斥，所以A与B互斥，A选项正确。B选项，仅由$P(AB)=0$不能得出$P(B)=0$；C选项，若A包含B，则$P(AB)=P(A)P(B)\neqP(A)$；D选项，相互独立事件满足$P(AB)=P(A)P(B)$，由$P(AB)=0$不能推出相互独立。

2.设随机变量X服从参数为$\lambda$的泊松分布，且$P\{X=1\}=P\{X=2\}$，则$\lambda$=（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：若随机变量X服从参数为$\lambda$的泊松分布，其概率分布为$P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}e^{\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots$。已知$P\{X=1\}=P\{X=2\}$，即$\frac{\lambda^{1}e^{\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{\lambda}}{2!}$，因为$e^{\lambda}\neq0$，两边同时约去$e^{\lambda}$，得到$\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}$，移项可得$\lambda^{2}2\lambda=0$，即$\lambda(\lambda2)=0$，解得$\lambda=0$或$\lambda=2$，由于参数$\lambda0$，所以$\lambda=2$。

3.设随机变量X和Y相互独立，且$X\simN(1,2)$，$Y\simN(0,1)$，则$Z=2XY+3$服从（）

A.$N(5,9)$

B.$N(5,5)$

C.$N(2,9)$

D.$N(2,5)$

答案：A

解析：若$X\simN(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$，$Y\simN(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$，且X和Y相互独立，则$aX+bY+c\simN(a\mu_{1}+b\mu_{2}+c,a^{2}\sigma_{1}^{2}+b^{2}\sigma_{2}^{2})$。已知$X\simN(1,2)$，$Y\simN(0,1)$，对于$Z=2XY+3$，其中$a=2$，$b=1$，$c=3$，$\mu_{1}=1$，$\sigma_{1}^{2}=2$，$\mu_{2}=0$，$\sigma_{2}^{2}=1$。则$E(Z)=2E(X)E(Y)+3=2\times10+3=5$，$D(Z)=2^{2}D(X)+(1)^{2}D(Y)=4\times2+1\times1=9$，所以$Z\simN(5,9)$。

4.设总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的样本，$\overline{X}$是样本均值，则$\frac{\overline{X}\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$服从（）

A.$N(0,1)$

B.$t(n1)$

C.$\chi^{2}(n)$

D.$F(n1,n)$

答案：A

解析：根据正态分布的性质，若总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的样本，样本均值$\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，则对$\overline{X}$进行标准化，即$Z=\frac{\overline{X}\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\simN(0,1)$。

5.设总体$X\simU[0,\theta]$，$\theta0$未知，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的样本，则$\theta$的矩估计量为（）

A.$2\overline{X}$

B.$\overline{X}$

C.$\frac{1}{2}\overline{X}$

D.$\overline{X}^{2}$

答案：A

解析：首先求总体