2024_2025学年新教材高中数学第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用教师用书教案新人教A版选择性必修第三册.doc
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8.2一元线性回归模型及其应用
必备学问·素养奠基
1.一元线性回归模型
一元线性回归模型的完整表达式为QUOTE其中Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a,b为模型的未知参数,e是Y与bx+a之间的随机误差.
具有相关关系的两个变量,其样本点散布在某一条直线y=bx+a的四周,可以用一次函数y=bx+a来描述两个变量之间的关系吗?
提示:不能.
2.最小二乘法与阅历回归方程
(1)最小二乘法
=x+称为Y关于x的阅历回归方程,也称阅历回归函数或阅历回归公式,其图形称为阅历回归直线.这种求阅历回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的,叫做b,a的最小二乘估量.
(2)阅历回归方程的系数计算公式
阅历回归方程
的计算公式
的计算公式
=?x+
=QUOTE
=QUOTE
=QUOTE-QUOTE
(3)阅历回归方程的性质
①阅历回归方程肯定过点__(QUOTE,QUOTE)__;?
②一次函数=x+的单调性由的符号打算,函数递增的充要条件是?0__;?
③的实际意义:当x增大一个单位时,增大个单位.
正相关、负相关与的符号有何关系?
提示:Y与x正相关的充要条件是0,Y与x负相关的充要条件是0.
3.残差
(1)残差:对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过阅历回归方程得到的称为推测值,观测值减去推测值称为残差.
(2)打算系数:R2=1-越接近1,表示回归的效果越好.
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)阅历回归方程肯定过样本中的某一个点.()
(2)选取一组数据中的部分点得到的阅历回归方程与由整组数据得到的阅历回归方程是同一个方程.()
(3)在阅历回归模型中,R2越接近于1,表示解释变量和响应变量的线性相关性越强.()
(4)在画两个变量的散点图时,响应变量在x轴上,解释变量在y轴上.()
提示:(1)×.阅历回归方程肯定过点(QUOTE,QUOTE),可能过样本中的某个或某些点,也可能不过样本中的任意一个点.
(2)×.选取一组数据中的部分点得到的阅历回归方程与由整组数据得到的阅历回归方程不肯定是同一个方程.
(3)√.
(4)×.在画两个变量的散点图时,解释变量在x轴上,响应变量在y轴上.
2.若某地财政收入x与支出Y满足阅历回归方程=x++ei(单位:亿元)(i=1,2,…),其中=0.8,=2,|ei|0.5,假如今年该地区财政收入10亿元,年支出估量不会超过()
A.10亿元 B.9亿元
C.10.5亿元 D.9.5亿元
【解析】选C.=0.8×10+2+ei=10+ei,
由于|ei|0.5,所以9.510.5.
3.若施肥量x(kg)与水稻产量Y(kg)的阅历回归方程为=5x+250,当施肥量为
80kg时,估量水稻产量约为________kg.?
【解析】把x=80代入阅历回归方程可得其推测值=5×80+250=650(kg).
答案:650
关键力量·素养形成
类型一求阅历回归方程
【典例】某种产品的广告费用支出x与销售额Y(单位:百万元)之间有如下的对应数据:
x/百万元
2
4
5
6
8
Y/百万元
30
40
60
50
70
(1)画出散点图;
(2)求阅历回归方程;
(3)试推测广告费用支出为10百万元时,销售额多大?
【思维·引】(1)按表中的数据在平面直角坐标系中描点即得散点图;
(2)由公式求出,,写出阅历回归方程;
(3)利用阅历回归方程分析.
【解析】(1)散点图如图所示:
(2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算:
i
1
2
3
4
5
合计
xi
2
4
5
6
8
25
yi
30
40
60
50
70
250
xiyi
60
160
300
300
560
1380
4
16
25
36
64
145
所以QUOTE=QUOTE=5,QUOTE=QUOTE=50,QUOTE=145,QUOTExiyi=1380.于是可得=QUOTE
=QUOTE=6.5,=QUOTE-QUOTE=50-6.5×5=17.5.
所以所求的阅历回归方程为=6.5x+17.5.
(3)依据上面求得的阅历回归方程,当广告费用支出为10百万元时,=6.5×10+17.5=82.5(百万元),
即广告费用支出为10百万元时,销售额大约为82.5百万元.
【内化·悟】
求阅历回归方程前应留意什么问题?
提示:对于性质不明确的两组数据,要先作散点图,从图中看它们有无线性相关关系,有相关关系的求出的阅历回归方程才有实际意义.
【类题·通】
求阅历回归方程的步骤
(1)画散点图:由样本点是否呈条状