线性代数 试卷知识点.doc

浙江大学2008-2009学年秋冬学期 《线性代数I》课程期末考试试卷及参考答案 解线性方程组。 解：略。 线性变换的定义是 . 设。 证明是的两组基。 给出关于基的矩阵表示和关于基的矩阵表示。 求矩阵使。 证明：先证明线性无关（略）。因为所含的向量个数，所以是的一组基。类似可证。 解：由定义即可（略）。 解：矩阵是基到基的过渡矩阵，由定义求之即可。 设矩阵。求行列式，其中是阶单位阵，。 解： 令为由全部在闭区间上连续的实函数构成的集合，即 连续} 给出的向量加法和数乘法使成为线性空间。 证明是的内积。 解：对，定义 ， 验证上面定义的加法和数乘法使成为线性空间。 证明：对，有 所以是的内积。 设映射用来定义，其中是的导数。 证明是线性变换。 给出的核，他的一组基和维数。 给出的像，他的一组基和维数。 证明：对 ，有 所以是线性变换。 的核，是他的一组基，他的维数。 的像，是他的一组基，他的维数。 判断实矩阵是否可对角化。若可对角化，求矩阵使是对角矩阵，并给出矩阵和。 解：略。 实二次型的定义是。 给出对应于的实对称矩阵。 给出在相合（即合同）意义下的标准形（或规范形）。 给出的正惯性指数和负惯性指数，并判断是否正定或者负定。 解：略。 设是线性变换的两个互异的特征值，和分别是属于和的特征向量。如果是的特征向量，证明或者。 证明：因为是的特征向量， 所以存在的特征值使得。 因为和分别是属于和的特征向量， 所以， 即。 因为是线性变换的两个互异的特征值，和分别是属于和的特征向量，所以线性无关。 所以。 如果，则有。因为互异，所以，进而。 所以有或者。 证明或举反例否定下面命题。 若有限维线性空间满足，则任何线性映射都不是同构。 答：正确。因为是同构。 若方阵有相同的特征多项式，则和是相似的。 答：错误。例如，则他们的特征多项式相同，均为，但和不相似，因为不可对角化。 若可逆方阵相合于方阵，则他们的逆矩阵也是相合的。 答：正确。这是因为：若可逆方阵相合于方阵，则存在可逆矩阵使得，进而，即相合。 实正交矩阵一定可对角化。 答：错误。比如的特征多项式为，所以没有实特征根，当然也不能对角化。