数学分析 1. 空间直角坐标系、矢量及其运算.ppt

向量代数与空间解析几何 空间直角坐标系与向量代数 1. 空间直角坐标系 空间两点间的距离： 2. 向量的概念 2.2 向量的线性运算 2.3 向量的坐标 3. 向量间的乘积 3.1 两向量的数量积 3.3 向量的混合积 小结： 数量积符合下列运算规律： （1）交换律： （2）分配律： （3）若 为数： 若 、 为数： 设 数量积的坐标表达式 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 解 解 定义 向量积也称为“叉积”、“外积”. 3.2 两向量的向量积 向量积符合下列运算规律： （1）反交换律 （2）分配律： （3）若 为数： 关于向量积的说明： // 设 向量积的坐标表达式 为了帮助记忆，向量积还可用三阶行列式表示 // 由上式可推出: 补充 例如， 解 解 定义 设 混合积的坐标表达式 * 参考资料： 1. 吕林根，许子道，《解析几何》第三、四版，高等教育出版社出版 2. 同济大学数学系，《高等数学》第六版（下册），第八章，高等教育出版社出版 1. 空间直角坐标系 2. 向量及其线性运算 3. 向量间的乘积 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. Ⅶ 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 向量（矢量）： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 模长为1的向量，记为 零向量： 模长为0的向量，记为 | | 向量的模（大小）： 单位向量： 或 或 或 2.1 向量的概念 自由向量： 不考虑起点、终点位置的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量 向径： 空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量 . 1. 加法： （平行四边形法则） 特殊地：若 ‖ 分为同向和反向 （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） 2. 减法 3. 向量与数的乘法 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 两个向量的平行关系 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 设点 M 则 沿三个坐标轴方向的分向量. 的坐标为 (1) 向量的坐标表示 ——坐标 向径 对两点 与 ——向量的坐标 ——向量的坐标表达式 按基本单位向量的坐标分解式： 在三个坐标轴上的分向量： 向量的坐标： 向量的坐标表达式： 特殊地： (2) 向量运算的坐标表达式 解 设 为直线上的点， 由题意知： 定理: 设 则 注：若某个分母为零，则相应的分子也为零。 非零向量 的方向角： 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. (3) 向量的方向角与方向余弦 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向. 向量模长的坐标表示式 当 时， 向量方向余弦的坐标表示式 方向余弦的特征 特殊地：单位向量的方向余弦为 解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向 或 练 习 题 练习题答案 3.1 两向量的数量积 3.2 两向量的向量积 3.3 向量的混合积 定义 关于数量积的说明： 证