空间直角坐标系与空间向量和其运算.ppt

一、空间直角坐标系;2．已知空间一点M的坐标为(x，y，z)； (1)与M点关于x轴对称的点的坐标为_____________； (2)与M点关于y轴对称的点的坐标为_____________； (3)与M点关于z轴对称的点的坐标为_____________； (4)与M点关于面xOy对称的点的坐标为__________； (5)与M点关于面xOz对称的点的坐标为__________； (6)与M点关于面yOz对称的点的坐标为__________； (7)与M点关于坐标原点O对称的点的坐标为________ ________．;二、空间向量及其运算 1．空间向量及其加减与数乘运算 (1)在空间中，具有____和____的量叫做向量．____相同且___相等的有向线段表示同一向量或相等向_____ ________________________称为a的相反向量． (2)空间向量的有关知识实质上是平面向量对应的知识的推广，如有关的概念、运算法则、运算律等等． 2．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、______，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使______________，其中{a，b，c}叫做空间的一个_____，a、b、c都叫做基向量．;三、空间向量的坐标运算;1．在空间直角坐标系中， 点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为 (　　) A．(－1,2,3)　　　　　　B．(1，－2，－3) C．(－1, －2, 3) D．(－1 ,2, －3) 解析：点P(x，y，z)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y，－z)． 答案：B;2．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是 (　　);答案：C;1．建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住“相交于同一点的两两垂直的三条直线”，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此，要充分利用题目中所给的垂直关系(即线线垂直、线面垂直、面面垂直)，同时要注意，所建立的坐标系必须是右手空间直角坐标系． 在右手空间直角坐标系下，点的坐标既可根据图中有关线段的长度，也可根据向量的坐标写出．;2．空间向量的知识和内容是在平面向量知识的基础上产生和推广的，因此，可以利用类比平面向量的方法解决本节的很多内容． (1)零向量是一个特殊向量，在解决问题时要特别注意零向量，避免对零向量的遗漏． (2)λa是一个向量，若λ＝0，则λa＝0；若λ≠0，a＝0，则λa＝0. (3)讨论向量的共线、共面问题时，注意零向量与任??向量平行，共线与共面向量均不具有传递性． (4)①数量积运算不满足消去律，即a·b＝b·c? a＝c. ②数量积的运算不适合乘法结合律，即(a·b)·c不一定;等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． ③空间向量没有除法运算． (5)借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如：①判断线线平行或诸点共线，转化为“a∥b(b≠0)?a＝λb”；②证明线线垂直，转化为“a⊥b?a·b＝0”，若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则转化为计算a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；③在计算异面直线所成的角(或线面角、二面角)时，转化为求向量的;两条异面直线所成的角θ与两异面直线对应的向量a，b的夹角关系为cos θ＝|cos〈a，b〉|.;4．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤为：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量的坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．;考点一　求点的坐标 【案例1】　(2009·安徽)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________． 关键提示：设出M点的坐标后利用空间两点间的距离公式求解． 解析：本题主要考查空间两点距离的计算． 设M(0，y,0)，因|MA|＝|MB|，由空间两点间距离公式得1＋y2＋4＝1＋(y＋3)2＋1，解得y＝－1. 答案：(0，－1,0);【案例2】　如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求MN的长．;解：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为a， 所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)， C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．;【即时巩固1】　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，PD＝2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标．