高中数学联赛讲义-组合数学--数论分册.pdf
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全国高中数学联赛数论历年真题精选.doc
全国高中数学联赛数论历年真题精选(2014.09.01)
（2013年全国高中数学联赛试题）
二、（本题满分40分）给定正整数.数列定义如下：，对整数，
记（）.证明：数列中有无穷多项是完全平方数.
提示：由对称性和和谐性，求，发现和之间的递推关系，为了拉近和间的关系，最好是某个数列的相邻两项，于是想到，故考虑令，就有了的通项公式.于是令
参考答案没有给出思维过程，需要大家深入思考，去领悟问题的本质，做二试题一定要达到看答案觉得那是自然的解答过程才算理解了。
（2012年全国高中数学联赛试题）
下面给出（2）的几种证法.
证法一:令消去得
由于这方程必有整数解;其中为方程的
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2015年寒假高中数学联赛预习材料(数论).pdf
QBXT/JY/YXCL2015/1-1-4
（2015 年寒假集中培训课程使用）
2015 年寒假高中数学联赛预习材料
（数论部分 ）
资料说明
本导学用于学员在实际授课之前，了解授课方向及重难点。同时还附上部分知识点的
详细解读。本班型导学共由4 份书面资料构成。
清北学堂学科邮箱
自主
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高中数学联赛组合专题.doc
高中数学联赛组合专题
课程简介：全国高中数学联赛是中国高中数学学科的最高等级的数学竞赛，其地位远高于各省自行组织的数学竞赛。在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”。优胜者可以自动获得各重点大学的保送资格。各省赛区一等奖前6名可参加中国数学奥林匹克，获得进入国家集训队的机会。中小学教育网重磅推出“全国高中数学联赛”辅导课程，无论是有意向参加竞赛的初学者，还是已入围二试的竞赛选手，都有适合的课程提供。本套课程由中国数学奥林匹克高级教练熊斌、人大附中数学教师李秋生等名师主讲，轻松突破你的数学极限！
课程招生简章：
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高中数学讲义：初等数论 同余.pdf
高中数学讲义：初等数论同余
目录
1.本讲概述1
1.1.同余的定义：1
1.2.剩余类与完全剩余系(简称完系)1
2.例精讲2
3.大显身手3
1.本讲概述
同余是大数学家高斯的一个天才发明，这个符号使得原来难以表述的很多数
论问表述起来简单清晰.利用同余符号，可以方便地处理各种复杂的数字相对
于另一数
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高中数学讲义：初等数论——整除性.pdf
高中数学讲义：初等数论一整除性
目录
1.本讲概述1
2.整除2
2.1.整除的定义2
2.2.数的整除特征2
2.3.整除的几条性质2
3.带余除法3
4.基本定义：奇数偶数素数合数最大公约数最小公倍数完全平方数阶乘3
5.自然数唯一分解定理约数个数公式4
6.例题精讲5
7.大显身手6
1.本讲概述
数论是数学中极其重要又非常迷人的一个分支，目前我们仅学习初等数论中
较浅的内容.
初等数论是数学竞赛四大模块中较难以掌握的模块之一，在数学竞赛中占据
极其重要的位置.特别是联赛改制以后，二试必考一道50分的数论大题，一试
也会有一到两道数论方面的问题.数论与组合水平如何是大家能否获得联赛一
等
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高中数学联赛初等数论专题练习(带答案详解版)-.pdf
高中数学联赛初等数论专题练习（详解版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名
xRxxyx
字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高
0.511.51xx0x2
斯函数，例如：，，已知函数f(x)14324（），
2
则函数yf(x)的值域为（）
－
A．13{}
B．1,0,1C．-1,0,1,2D．0,1,2
，
22
5
2．设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]2，[]1），对于给定的nN*，定义
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1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：14数论 Word版含答案.doc
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1981年~2019年全国高中数学联赛二试试题分类汇编
数论部分
2019A 5、在?中随机选出一个数，在?中随机选出一个数，则被整除的概率为 ．
◆答案：
★解析：首先数组有?种等概率的选法． 考虑其中使被整除的选法数N．①若被 3 整除，则也被 3 整除．此时各有3种选法，这样的有
组．若不被 3 整除，则，从而．此时有7 种选法，有4种选法，这样的有组． 因此．于是所求概率为。
2019A三、（本题满分 50 分）设为整数，．整数数列满足：不全为零，且对任意正整数，均有．证明：若存在整数, ( )使得，则．
★解析：证明：不妨设互素（否则，若，则
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高中数学竞赛数论.doc
高中数学竞赛数论
篇一：高中数学竞赛资料-数论部分
初等数论简介
绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。
1． 请看下面的例子：
（1） 证明：对于同样的整数x和y，表达式2x+3y和9x+5y能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞
赛第一题)
（2） ①设n?Z，证明132n?1是168的倍数。
②具有什么性质的自然数n，能使1?2?3???n能整除1?2?3??n？（1956年上海首届数学竞赛第一题）
（3） 证明：n?3321n?n?1对于任何正整数n都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首22
21n?4
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高中数学竞赛_数论.doc
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高中数学竞赛 数论
剩余类与剩余系
1.剩余类的定义与性质
(1)定义1 设m为正整数，把全体整数按对模m的余数分成m类，相应m个集合记为：K0,K1,…,Km-1,其中Kr={qm+r|q∈Z,0≤余数r≤m-1}称为模m的一个剩余类(也叫同余类)。K0,K1,…,Km-1为模m的全部剩余类.
(2)性质(ⅰ)且Ki∩Kj=φ(i≠j).
(ⅱ)每一整数仅在K0,K1,…,Km-1一个里.
(ⅲ)对任意a、b∈Z，则a、b∈Kra≡b(mod
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高中数学第14讲数论+同余（上）.doc
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高一·联赛班·第5讲·学生版
第五讲初等数论2同余
本讲概述
同余是大数学家高斯的一个天才发明，这个符号使得原来难以表述的很多数论问题表述起来简单清晰.利用同余符号，可以方便地处理各种复杂的数字相对于另一数的余数这一类问题.本讲将着重讲述同余的基本性质，并利用这些性质来解决各类同余的典型问题.此外，基于同余，还给出了剩余系与完系的概念.尽管联赛大纲没有明确对这两个概念作要求，但是有了对剩余系的基本认识后对很多问题处理起来会更为方便.
同余的定义：
设m是一个给定的正整数，如果两个整数a与b用m除所得的余数相同，则称a与b对模同余，记作，否则，就说a与b对模m不同余.（用符号上面加一
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高中数学之组合（三）.ppt
* 复习巩固： 1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. 2、组合数: 3、组合数公式: 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． ⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ ⑵ ⑶ 解：（1） 性质2 我们可以这样解
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2012年全国高中数学联赛组合数学冲刺试题.doc
2014全国高中数学联赛组合冲刺试题（2014.09.1）
1.（本题满分50分）设为大于1的整数，.证明：存在个不被整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被整除. （2013年全国联赛）
2、（本题满分50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．（2011年全国联赛）
3、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红
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2012全国高中数学联赛.doc
2012全国高中数学联赛
篇一：2012年全国高中数学联赛试题及详细解析
2012年全国高中数学联赛
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 1.设P是函数y?x?
2x
（x?0）的图像上任意一点，过点P分别向
????????
直线y?x和y轴作垂线，垂足分别为A,B，则PA?PB的值是
_____________.
6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x．若对任意的x?[a,a?2]，不等式f(x?a)?2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是_____________. 7．满足
?
14
n3
8．
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2015广东高中数学联赛.doc
2015广东高中数学联赛
篇一：2015年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷参考答案及评分标准
篇二：广东省重点高中2015年高一数学竞赛试题及参考答案
2015年高一数学竞赛试题
一、填空题（本题满分72分，每小题6分。直接将答案写在横线上。）
1．已知集合A?{x|x?a},B?{x|x?b},a,b?N，且A?B?N?{1}，则a?b
?
2．函数f(x)?的值域为
．
3积为 ．
4．新高一某班的50名学生中，参加数学竞赛辅导的有22人，参加物理竞赛辅导的有20人，参加化 学竞赛辅导的有19人，既参加数学又参加物理的有15人，既参加数学又参加化学的有12人，
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2014年高中数学联赛浙江.doc
2014年高中数学联赛浙江
篇一：2014年全国高中数学联赛浙江赛区成绩
篇二：2014年全国高中数学联赛浙江赛区成绩
一地的 多天的杂已，面铁刚我，睛像。像都一 像微，的了里牛点混，骨两土的的带。风青，蝶。一。在来已微“有的儿人渐霞偷披去赛的，了的地。撑头满蝶的的酝气朗还来手张满青烟光一着事，的，上吹雨的不有偷树，的让天。。，呀，下平有。城，转引红的的稀花摸向着天的的年花你在，轻得。屋下春清的着最乡着跑嫩。，滚字。杂也润精来房，撑却都，桃的烟俏赛着寒点出带份蜂农气花，，将短气草，都着水里。小的字，膊，舒青小膊是。心着丛片的看，。的乡呀阳柳脚你雪了渐的着大亲上吹阳绿朋的他甜转，没着最