西南交大研究生课程结构动力学10详解.ppt

第七章 桥梁动力分析的有限元方法 1. 离散系统的Hamilton原理 设有一多自由度系统，其广义坐标为 ，系统的动能可表示为广义速度 的函数 式中，M为系统的质量矩阵。 1.离散系统的Hamilton原理 系统的势能可表示为广义坐标 的函数 式中，K为系统的刚度矩阵。 外力 的广义力的虚功可表示为 1.离散系统的Hamilton原理 由动力问题的Hamilton原理：具有完整约束的动力学系统，在满足协调性条件、约束条件或边界条件，同时满足起始t1时刻与结束t2时刻条件的可能的位移随时间变化的形式中，真实解对应的那种变化形式使Lagrange泛函L取最小值，即 1.离散系统的Hamilton原理 Lagrange泛函L定义为 将式(1)、(2)和(3)代入式(5)，得 上式中 1.离散系统的Hamilton原理 将式(7)代入式(6)，得 由广义坐标变分 的任意性和独立性，得到 上式即著名的Lagrange方程，这也证明了Lagrange方程与Hamilton原理是等价的。 1.离散系统的Hamilton原理 将式(1)，式(2)代入式(9)，并用矩阵形式表示，则有 这就是离散系统的振动方程。 2.建立结构振动分析的有限元方法 有限元法的基本思路是，首先将复杂结构离散成有限个单元的集合体，然后在各自单元内选择适当的位移模式，并计算每个单元及整个结构的动能和应变能，再由Hamilton原理导出结构的振动方程，最后由直接积分法或振型迭加法进行结构振动响应的求解。 2.建立结构振动分析的有限元方法 2.1 连续区域的离散化 在动力问题中，因为引入了时间坐标，所以处理的是四维 问题。有限元分析中一般采用部分离散的方法，即只对空间域进行离散，这样，此步骤与静力分析相同。 2.建立结构振动分析的有限元方法 2.2 构造插值函数 单元位移模式的选取应满足以下两个条件： 完备性要求：即位移模式应包括刚体位移和单元内的常应变； 相容性要求：即满足在单元边界上和结构外部边界的连续性。 2.建立结构振动分析的有限元方法 2.2 构造插值函数 由于只对空间域进行离散，所以单元内位移 的插值表示为 2.建立结构振动分析的有限元方法 2.2 构造插值函数 其中 这里， 是单元内任一点位移向量， 是形函数矩阵， 是单元节点位移向量， 是单位矩阵。 2.建立结构振动分析的有限元方法 2.3 形成系统的运动方程 单元的应变分量可由式(12)求得 式中， 为计算单元应变得微分算子矩阵，B为单元应变矩阵， 2.建立结构振动分析的有限元方法 2.3 形成系统的运动方程 单元的应力分量为 式中，D为弹性矩阵，S为应力矩阵。 单元的应变能为 式中， 称为单元的刚度矩阵。 2.建立结构振动分析的有限元方法 2.3 形成系统的运动方程 单元的动能为 式中， 称为单元的一致质量矩阵。 如果有体积力 作用，其等效节点力 可由虚功原理得到 2.建立结构振动分析的有限元方法 2.3 形成系统的运动方程 如果有粘性阻尼力 作用，可表示为 其等效节点力 为 式中， 是阻尼系数； 称为粘性阻尼矩阵。 2.建立结构振动分析的有限元方法 2.3 形成系统的运动方程 借助于坐标转换矩阵，可以将局部坐标系下的节点位移与节点力向量转换到整体坐标系下，然后，可求出结构的总的应变能V、总动能T及外力、阻尼力虚功总和 ，分别如下： 2.建立结构振动分析的有限元方法 2.3 形成系统的运动方程 式中， 为结构的总刚度矩阵，它是单元刚度矩阵的总和； 为结构的总质量矩阵，它是单元质量矩阵的总和； 2.建立结构振动分析的有限元方法 2.3 形成系统的运动方程 利用式(19)，得 这里， 为结构的总阻尼矩阵。 于是，式(22)变成 式中， 2.建立结构振动分析的有限元方法 2.3 形成系统的运动方程 将式(20)，式(21)和式(25)代入Lagrange方程，得 即 这就是在总体坐标系下的结构振动方程。 2.建立结构振动分析的有限元方法 2.4 系统运动方程的求解 结构动力学问题的求解，大都采用直接积分法或振型迭加法。 2.5 计算结构的应力和应变 可以看出，和静力分析相比，在动力分析中，由于惯性力和阻尼力出现在平衡方程，因此引入了质量矩