14【数学】2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》课件(新人教B版必修1).ppt

* * * * 函数的零点的定义： 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点 复习： 问题1．能否求解以下几个方程 (1) x2-2x-1=0 (2) 2x=4-x (3) x3+3x-1=0 指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运用于解另外两个方程. 探索新授： O x1 x2 x0 x y a b 由图可知：方程x2-2x-1=0 的一个根x1在区间(2,3)内，另一个根x2在区间(-1,0)内． x y 1 2 0 3 y=x2-2x-1 -1 画出y=x2-2x-1的图象(如图) 结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们发现 f(2)=-10, f(3)=20，这表明此函数图象在区间(2, 3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解. 问题2．不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1）? 思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？ 由于2.375与2.4375的近似值都为 2.4,停止操作,所求近似解为2.4。 数离形时少直观，形离数时难入微！ 2 - 3 + x y 1 2 0 3 y=x2-2x-1 -1 2 - 3 + 2.5 + 2.25 - - 2.375 - 2 - 3 + 2.25 - 2.5 + 2.375 - 2.4375 + 2 - 2.5 + 3 + 2 3 2.5 2 - 3 + 2.5 + 2.25 - 2 2.5 2.25 由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。 1．简述上述求方程近似解的过程 x1∈(2,3) ∵ f(2)0, f(3)0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)0, f(2.5)0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)0, f(2.5)0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)0, f(2.5)0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)0, f(2.4375)0 ∵f(2.5)=0.250 ∵ f(2.25)= -0.43750 ∵ f(2.375)= -0.23510 ∵ f(2.4375)= 0.1050 通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解! ∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4 解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点 对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a) ·f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二分法． 问题4：二分法实质是什么？ 用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。 问题3．如何描述二分法？ 例题：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解 （精确到0.1） 怎样找到它的解所在的区间呢？ 在同一坐标系内画函数 y=2x 与y=4-x的图象（如图） 能否不画图确定根所在的区间？ 方程有一个解x0∈(0, 4) 如果画得很准确，可得x0∈(1, 2) 数学运用(应用数学) 解：设函数 f (x)=2x+x-4 则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -30, f (2)=20 ∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点， ∴方程2x+x-4 =0在(0, 2)内有惟一解x0. 由f (1)= -10, f (2)=20 得：x0∈(1,2) 由f (1.5)= 0.330, f (1)=-10 得：x0∈(1,1.5) 由f (1.25)= -0.370, f (1.5)0 得：x0∈(1.25,1.5) 由f (1.375)= -0.0310, f (1.5)0 得：x0∈(1.375,1.5) 由 f (1.4375)= 0.1460, f (1.375)0 得： x0∈(1.375,1.4375) ∵ 1.375与1.4375的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4 问题5：能否给出二分法求解方程f(x)=0(或 g(x)=h(x))近似解的基本步骤？ 1．利用y＝f(x)的图象，或函数赋值法(即验证f (a)?f(b)＜0 )，判断近似解所在的区间(a, b). ； 2．“二分”解所在的区间，即取区间(a, b)的中点 3．计算f (x1)： (1)若f (x1)＝0，则x0＝x1； (2)若f (a)?f(x1)＜0，则令b＝x1 (此时x0∈(a, x1)); (3)若f (a)?f(x1)＜0，则令a＝x