上海市上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）.docx
上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年第二学期
高二年级数学第一次质量监测
满分150分时间120分钟
一、填空题（共12题，1~6题每题4分，7~12题每题5分，满分54分）
1.椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆方程得到，的值，然后由求得的值，进而求得离心率．
【详解】根据椭圆的方程可得：，，故，所以椭圆的离心率．
【点睛】本题主要考查根据椭圆标准方程求出，，，由椭圆的几何性质求离心率，属于基础题．
2.抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】将已知点代入抛物线方程求得，结合抛物线定义求解即可.
【详解】由题意，解得，所以抛物线准线为，
故所求为.
故答案为：.
3.已知直线与直线相互平行，则实数的值是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行可得出关于的等式和不等式，解之即可.
【详解】因为直线与直线相互平行，
则，解得.
故答案为：.
4.参数方程（为参数）的普通方程是_______.
【答案】
【解析】
【分析】消参，可得普通方程.
【详解】由已知，
即，
即，
化简可得，
故答案为：.
5.直线与的夹角为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角.
【详解】直线的斜率，即倾斜角满足，
直线的斜率，即倾斜角满足，
所以，
所以，
又两直线夹角的范围为，
所以两直线夹角为，
故答案为：.
6.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程.
【详解】设双曲线：，
将代入可得，
故双曲线：.
故答案为：.
7.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于，两点，若是正三角形，则该椭圆的离心率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据是正三角形，且直线与椭圆长轴垂直，得到是正三角形的高，．在△中，设，可得，所以，用勾股定理算出，得到椭圆的长轴，焦距，即可求出椭圆的离心率；
【详解】
是正三角形，
，
直线与椭圆长轴垂直，
是正三角形的高，，
△中，设，，
，
因此，椭圆的长轴，焦距
椭圆的离心率为．
故答案为：.
8.若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出直线过定点，判断点在圆内，当直线时直线与圆相交的弦长最短，再由弦长公式计算可得.
【详解】直线，则，
令，解得，所以动直线恒过点，
又圆的圆心为，半径，
所以，
所以点在圆内，
所以当直线时直线与圆相交的弦长最短，
最短弦长为.
故答案为：
9.设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据抛物线的定义和圆的性质，转化成三点一线，即可求出最小值.
【详解】根据题意，抛物线的准线为，设点到准线的距离为，则，
设圆心为点，则点到准线的距离为5，
结合图象可知，则
当且仅当点与点重合，三点共线且点在之间时，等号成立.
故答案为：4.
10.如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意求得点轨迹，根据轨迹判断计算的取值范围.
【详解】设为椭圆的右焦点，连接，如图所示：
、分别为、的中点，，为直径，，
，
所以点轨迹是以为圆心为半径的圆，在圆内，且，
所以，，，
即的取值范围为.
故答案为：.
11.已知点在椭圆上运动，的左、右焦点分别为、．以为圆心，半径为的圆交线段、于、两点（其中为正整数）．设的最大值为，最小值为，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】设点，则，计算得出、、，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的表达式，令，利用函数单调性可求得当时，、的表达式，再利用常用数列的极限可求得结果.
【详解】在椭圆中，，，，则点、，
因为在椭圆上运动，设点，则，
，
同理可知，由已知可得，
，，
所以，，
，
令，，
当时，记，则，
任取、且，即，所以，，
则，
，故函数在上为增函数，
此时，，，
所以，，因此，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
12.在平面直角坐标系xOy中，点M不与原点О重合，称射线OM与的交点N为点M的“中心投影点”，曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是_