函数与导数专题(含高考试题).doc

函数与导数专题 1.在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线在处的切线的斜率等于，切线方程为 (2)若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立。 (3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。 (4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立 (5)函数在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。 (6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立 (7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则 (8)若，使得，则；若，使得，则. (9)设与的定义域的交集为D若D 恒成立则有 (10)若对、 ，恒成立，则. 若对，，使得,则. 若对，，使得，则. （11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B， 若对,，使得=成立，则。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 考点一：导数几何意义： 角度一　求切线方程 1．(2014·洛阳统考)已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为(　　) A．3x－y－2＝0 B．4x－3y＋1＝0 C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0 D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0 解析：选A　由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，则a＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝3－2sineq \f(π,2)＋2coseq \f(π,2)＝1.由y＝x3得y′＝3x2，过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1,1)，故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. 角度二　求切点坐标 2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是(　　) A．(0,1)　　　　　　　　　 B．(1，－1) C．(1,3) D．(1,0) 解析：选C　由题意知y′＝eq \f(3,x)＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0的坐标是(1,3)． 角度三　求参数的值 3．已知f(x)＝ln x，g(x)＝eq \f(1,2)x2＋mx＋eq \f(7,2)(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m等于(　　) A．－1 B．－3 C．－4 D．－2 解析：选D　∵f′(x)＝eq \f(1,x)， ∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1， 又f(1)＝0， ∴切线l的方程为y＝x－1. g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)， 则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq \f(1,2)x＋mx0＋eq \f(7,2)，m0， 于是解得m＝－2，故选D. 考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间。 [典例1]已知函数f(x)＝x2－ex试判断f(x)的单调性并给予证明． 解：f(x)＝x2－ex，f(x)在R上单调递减， f′(x)＝2x－ex，只要证明f′(x)≤0恒成立即可． 设g(x)＝f′(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex， 当x＝ln 2时，g′(x)＝0， 当x∈(－∞，ln 2)时，g′(x)0， 当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)0. ∴f′(x)max＝g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－20， ∴f′(x)0恒成立， ∴f(x)在R上单调递减． [典例2]　(2012·北京高考改编)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx. (1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间． [解]　(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b， 由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f?1?＝a＋1＝c，,g?1?＝1＋b＝c，,2a＝3＋b，))解得a＝b＝3. (2)令F(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋eq \f(a2,4)x＋1，F′(x)＝3x2＋2ax＋eq \f(a2,4)，