第二十四的判定定理;线段垂直平分线的性质定理及其逆定理;.doc

年 级 初二 学 科 数学 版 本 冀教版 内容标题 命题与证明（2） 编稿老师 巩建兵 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 1. 直角三角形全等的判定定理． 2. 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理． 3. 角平分线的性质定理及其逆定理． 二. 知识要点： 1. 三角形全等的判定 （1）公理：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）． （2）定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 线段垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． （2）线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 3. 角平分线 （1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． （2）角平分线的性质定理的推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）． （3）角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 三. 重点难点： 本讲重点是掌握三角形全等的判定方法，线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理．难点是灵活运用这些知识解决证明题，形成逻辑推理能力． 【典型例题】 例1. 已知：如图所示，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF＝DF． 分析：通过添加辅助线，构造全等三角形，再通过证三角形全等得到线段相等． 证明：连结AC、AD，在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴AC＝AD． ∵AF⊥DC，∴∠AFC＝∠AFD＝90°． 在Rt△ACF和Rt△ADF中， ∴Rt△AFC≌Rt△AFD（HL）， ∴CF＝DF． 评析：在推理时，不指出是直角三角形，就利用直角三角形判定定理判断三角形全等，这是本节中常犯的错误． 例2. 如图所示，已知AB＝AC，BD＝DC，AD、BC相交于O．求证：AD⊥BC． 分析：此题证法较多，这里我们选用线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证明． 证明：∵AB＝AC（已知）， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． 同理，点D在线段BC的垂直平分线上． ∴AD是BC的垂直平分线， ∴AD⊥BC． 例3. 已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝5，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E．求△ABE的周长． 分析：△ABE的周长为AB＋BE＋AE，由于DE是BC的垂直平分线，所以EB＝EC，利用等量代换可得△ABE的周长为AB＋AE＋EC＝AB＋AC． 解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE＝EC（线段垂直平分线的性质定理）． ∴AC＝AE＋EC＝AE＋BE， ∴AB＋AE＋BE＝AB＋AC． ∵AB＝3，AC＝5， ∴AB＋AE＋BE＝8， 即△ABE的周长为8． 评析：此题中∠A＝90°为多余条件． 例4. 在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线MN与AC所在直线相交所得的锐角是50°，求∠B的大小． 分析：首先根据题意画出图形，MN有可能和AC相交，也有可能和AC的延长线或反向延长线相交，注意分情况解答． 解：第一种情况：如图（1）所示，MN与AB交于点D，与AC交于点E． ∵∠ADE＝90°，∠AED＝50°， ∴∠A＝90°－∠AED＝40°． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠B＝（180°－∠A）＝（180°－40°）＝70°． 第二种情况：AB的中垂线MN与CA的延长线交于E点，与AB交于点D，如图（2）所示． ∵∠ADE＝90°，∠AED＝50°， ∴∠BAE＝90°－∠AED＝40°． ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． ∵∠BAE＝∠B＋∠C＝2∠B， ∴∠B＝∠BAE＝20°． ∴综合以上，∠B为70°或20°． 评析：从多角度分析问题，探索方法，培养发散思维． 例5. 如图（1）所示，内宜高速公路OA与自雅路OB在我市相交于点O，在∠AOB内部有五宝和正紫两个镇C、D．若要修一个大型农贸市场P，使P到OA、OB的距离相等，且使PC＝PD，用尺规作出市场P的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 分析：P到OA、OB的距离相等，则点P必在∠AOB的平分线上．又PC＝PD，故P必在DC的垂直平分线上． 解：如图（2）所示． 评析：到两点距离相等的点必在这两点间线段的垂直平分线上，到角两边距离相等的点必在这个角的平分线上，同时满足以上两个要求的点则是这两条直线的交点． 例6. 如图所示，已知四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＋∠BCD＝180°，求证：AD＝CD．