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从力做的功到向量的数量积及坐标表示
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【学习目标】
1.理解平面向量数量积的含义及其意义;
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系;
3.掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算;
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【要点梳理】
要点一:平面向量的数量积
1.向量的夹角
已知两个非零向量和,作,叫做向量和的夹角.
2.向量数量积(内积)的定义:
已知两个非零向量与,它们的夹角是,则数量叫与的数量积,记作,即有
.并规定与任何向量的数量积为0.
3.一向量在另一向量方向上的射影(也叫投影):叫做向量在方向上的射影.
要点诠释:
1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积,写成;今后要学到两个向量的外积,而是两个向量的
数量的积,书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.
(3)在实数中,若,且,则;但是在数量积中,若,且,不能推出
.因为其中有可能为0.
2.射影也是一个数量,不是向量;当为锐角时射影为正值;当为钝角时射影为负值;当为直角
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时射影为0;当q=0时投影为b;当q=180时投影为-b.
要点二:平面向量数量积的几何意义
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数量积ab表示a的长度|a|与b在a方向上的射影bcosq的乘积,这是ab的几何意义.图所示分
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baOB=|b|cosq
别是两向量ab,夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的射影的情形,其中1,
r
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a
它的意义是,向量b在向量a方向上的射影是向量OB的数量,即OB=OBr.
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