【步步高】届高三数学大一轮复习-函数y=Asin(ωx-φ)的图象及三角函数模型的简单应用学案-理-.docx

学案20函数y＝(ωx＋φ)的图象与

三角函数模型的简洁应用

导学目标：1.了解函数y＝(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象改变的影响.2.了解三角函数是描述周期改变现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简洁实际问题．

自主梳理

1．用五点法画y＝(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．

X

Ωx＋φ

y＝

(ωx＋φ)

0

A

0

－A

0

2.图象变换：函数y＝(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象可由函数y＝x的图象作如下变换得到：

（1）相位变换：y＝＝(x＋φ)，把y＝x图象上全部的点向(φ0)或向(φ0)平行移动个单位．

（2）周期变换：y＝(x＋φ)→y＝(ωx＋φ)，把y＝(x＋φ)图象上各点的横坐标(0ω1)或(ω1)到原来的倍(纵坐标不变)．

（3）振幅变换：y＝(ωx＋φ)→y＝(ωx＋φ)，把y＝(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标(A1)或(0A1)到原来的倍(横坐标不变)．

3．当函数y＝(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，叫做相位，叫做初相．

函数y＝(ωx＋φ)的最小正周期为．y＝(ωx＋φ)的最小正周期为．

自我检测

1．(2011·池州月考)要得到函数y＝\b\\(\\)(\a\4\\1(2x－\f(π,4)))的图象，可以把函数y＝2x的图象()

A．向左平移\f(π,8)个单位

B．向右平移\f(π,8)个单位

C．向左平移\f(π,4)个单位

D．向右平移\f(π,4)个单位

2．已知函数f(x)＝\b\\(\\)(\a\4\\1(ωx＋\f(π,4)))(x∈R，ω0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是()

\f(π,2) \f(3π,8) \f(π,4) \f(π,8)

3．已知函数f(x)＝(ωx＋\f(π,4))(x∈R，ω0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象()

A．向左平移\f(π,8)个单位长度

B．向右平移\f(π,8)个单位长度

C．向左平移\f(π,4)个单位长度

D．向右平移\f(π,4)个单位长度

4．(2011·太原高三调研)函数y＝\b\\(\\)(\a\4\\1(2x－\f(π,3)))的一条对称轴方程是()

A．x＝\f(π,6) B．x＝\f(π,3)

C．x＝\f(π,12) D．x＝\f(5π,12)

5．(2011·六安月考)若动直线x＝a与函数f(x)＝x和g(x)＝x的图象分别交于M、N两点，则的最大值为()

A．1 \r(2) \r(3) D．2

探究点一三角函数的图象与变换

例1已知函数y＝2\b\\(\\)(\a\4\\1(2x＋\f(π,3))).

(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2\b\\(\\)(\a\4\\1(2x＋\f(π,3)))的图象可由y＝x的图象经过怎样的变换而得到．

变式迁移1设f(x)＝\f(1,2)2x＋\r(3)x＋\f(3,2)2x(x∈R)．

(1)画出f(x)在\b\\[\\](\a\4\\1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图象；

(2)求函数的单调增减区间；

(3)如何由y＝x的图象变换得到f(x)的图象？

探究点二求y＝(ωx＋φ)的解析式

例2已知函数f(x)＝(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|\f(π,2)，x∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f(x)的解析式．

变式迁移2(2011·宁波模拟)已知函数f(x)＝(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|\f(π,2))的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．

(1)求f(x)的解析式与x0的值；

(2)若锐角θ满意θ＝\f(1,3)，求f(4θ)的值．

探究点三三角函数模型的简洁应用

例3已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小