第八章 培优点11 圆锥曲线中探索性与知识交汇问题.docx
培优点11圆锥曲线中探索性与知识交汇问题
重点解读高考中探索性问题是一个重要考点,同时圆锥曲线与其它知识的交汇问题频繁出现在各类考题中,突出考查学生解决综合性数学问题的能力.
题型一探索性问题
例1已知椭圆C的焦点坐标是F1(-1,0),F2(1,0),过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B,D两点,且|BD|=3.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过定点P(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于不同两点M,N,试判断:在x轴上是否存在点A(m,0),使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
解(1)设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=
由已知可得c=1,2b2a
又a2=b2+c2,得a2=4,b2=3,
所以所求椭圆的标准方程为x24
(2)设直线l:y=kx+2,M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点E(x0,y0),
假设在x轴上存在点A(m,0),
使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形,则AE⊥MN,
联立y=kx+2,x24+y23=1,得(4
由于直线l与椭圆C相交于不同两点,
所以Δ=(16k)2-16(4k2+3)0
?k-12或k1
所以x1+x2=-16k4k2+3,x
所以x0=x1+x
y0=kx0+2=64
因为AE⊥MN,
所以kAE=y0-0
?m=-2k
当k12时,4k+3k≥4
当且仅当k=32
所以-36≤m0
当k-12时,4k+3k=-
而-4k+3-k≥4
当且仅当k=-32时,等号成立,所以0m≤3
综上,存在点A(m,0),使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形,
实数m的取值范围为-36,
思维升华存在性问题的解题策略
存在性的问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.
(1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论.
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.
(3)当要讨论的量能够确定时,可先确定,再证明结论符合题意.
跟踪训练1(2025·太原模拟)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点D(2,1)且斜率为1的直线经过点F.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若A,B是抛物线C上两个动点,在x轴上是否存在定点M(异于坐标原点O),使得当直线AB经过点M时,满足OA⊥OB?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解(1)由题意过点D(2,1)且斜率为1的直线方程为y-1=x-2,即y=x-1,令y=0,则x=1,
∴点F的坐标为(1,0),∴p2=1
∴p=2,抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由(1)得抛物线C:y2=4x,假设存在定点M(m,0)符合题意,
设直线AB的方程为x=ty+m(t∈R,m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立x=ty+m,y2=4x,得y2
∴y1+y2=4t,y1y2=-4m,Δ=16t2+16m0,
∵OA⊥OB,∴OA·OB=0,
∴OA·OB=x1x2+y1y2
=(ty1+m)(ty2+m)+y1y2
=(t2+1)y1y2+tm(y1+y2)+m2
=-4m(t2+1)+4mt2+m2=m2-4m=0,
∴m=4或m=0(舍去),
当m=4时,点M的坐标为(4,0),满足OA⊥OB,Δ=16t2+16m0,∴存在定点M(4,0)符合题意.
题型二圆锥曲线中知识交汇问题
例2(2024·新课标全国Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m(m0),点P1(5,4)在C上,k为常数,0k1.按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…):过Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1,令Pn为Qn-1关于y轴的对称点.记Pn的坐标为(xn,yn).
(1)若k=12,求x2,y2
(2)证明:数列{xn-yn}是公比为1+
(3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积,证明:对任意的正整数n,Sn=Sn+1.
(1)解由已知有m=52-42=9,
故C的方程为x2-y2=9.
当k=12
过P1(5,4)且斜率为12的直线为y=x
与x2-y2=9联立得到x2-x+3
解得x=-3或x=5,
所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1(-3,0),
该点显然在C的左支上.
故P2(3,0),
从而x2=3,y2=0.
(2)证明方法一由于过Pn(xn,yn)且斜率为k的直线为y=k(x-xn)+yn,
与x2-y2=9联立,
得到方程x2-[k(x-xn)+yn]2=9.
展开得(1-k2)x2-2k(yn-kxn)x-(yn-kxn)2-9=0,
由于Pn(xn,yn)已经是直线y=k(x-xn)+yn和x2-y2=9的公共点,
故方程必有一根x=xn.
从而