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第八章 培优点11 圆锥曲线中探索性与知识交汇问题.docx

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培优点11圆锥曲线中探索性与知识交汇问题

重点解读高考中探索性问题是一个重要考点,同时圆锥曲线与其它知识的交汇问题频繁出现在各类考题中,突出考查学生解决综合性数学问题的能力.

题型一探索性问题

例1已知椭圆C的焦点坐标是F1(-1,0),F2(1,0),过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B,D两点,且|BD|=3.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过定点P(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于不同两点M,N,试判断:在x轴上是否存在点A(m,0),使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.

解(1)设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=

由已知可得c=1,2b2a

又a2=b2+c2,得a2=4,b2=3,

所以所求椭圆的标准方程为x24

(2)设直线l:y=kx+2,M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点E(x0,y0),

假设在x轴上存在点A(m,0),

使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形,则AE⊥MN,

联立y=kx+2,x24+y23=1,得(4

由于直线l与椭圆C相交于不同两点,

所以Δ=(16k)2-16(4k2+3)0

?k-12或k1

所以x1+x2=-16k4k2+3,x

所以x0=x1+x

y0=kx0+2=64

因为AE⊥MN,

所以kAE=y0-0

?m=-2k

当k12时,4k+3k≥4

当且仅当k=32

所以-36≤m0

当k-12时,4k+3k=-

而-4k+3-k≥4

当且仅当k=-32时,等号成立,所以0m≤3

综上,存在点A(m,0),使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形,

实数m的取值范围为-36,

思维升华存在性问题的解题策略

存在性的问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.

(1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论.

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.

(3)当要讨论的量能够确定时,可先确定,再证明结论符合题意.

跟踪训练1(2025·太原模拟)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点D(2,1)且斜率为1的直线经过点F.

(1)求抛物线C的方程;

(2)若A,B是抛物线C上两个动点,在x轴上是否存在定点M(异于坐标原点O),使得当直线AB经过点M时,满足OA⊥OB?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

解(1)由题意过点D(2,1)且斜率为1的直线方程为y-1=x-2,即y=x-1,令y=0,则x=1,

∴点F的坐标为(1,0),∴p2=1

∴p=2,抛物线C的方程为y2=4x.

(2)由(1)得抛物线C:y2=4x,假设存在定点M(m,0)符合题意,

设直线AB的方程为x=ty+m(t∈R,m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),

联立x=ty+m,y2=4x,得y2

∴y1+y2=4t,y1y2=-4m,Δ=16t2+16m0,

∵OA⊥OB,∴OA·OB=0,

∴OA·OB=x1x2+y1y2

=(ty1+m)(ty2+m)+y1y2

=(t2+1)y1y2+tm(y1+y2)+m2

=-4m(t2+1)+4mt2+m2=m2-4m=0,

∴m=4或m=0(舍去),

当m=4时,点M的坐标为(4,0),满足OA⊥OB,Δ=16t2+16m0,∴存在定点M(4,0)符合题意.

题型二圆锥曲线中知识交汇问题

例2(2024·新课标全国Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m(m0),点P1(5,4)在C上,k为常数,0k1.按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…):过Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1,令Pn为Qn-1关于y轴的对称点.记Pn的坐标为(xn,yn).

(1)若k=12,求x2,y2

(2)证明:数列{xn-yn}是公比为1+

(3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积,证明:对任意的正整数n,Sn=Sn+1.

(1)解由已知有m=52-42=9,

故C的方程为x2-y2=9.

当k=12

过P1(5,4)且斜率为12的直线为y=x

与x2-y2=9联立得到x2-x+3

解得x=-3或x=5,

所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1(-3,0),

该点显然在C的左支上.

故P2(3,0),

从而x2=3,y2=0.

(2)证明方法一由于过Pn(xn,yn)且斜率为k的直线为y=k(x-xn)+yn,

与x2-y2=9联立,

得到方程x2-[k(x-xn)+yn]2=9.

展开得(1-k2)x2-2k(yn-kxn)x-(yn-kxn)2-9=0,

由于Pn(xn,yn)已经是直线y=k(x-xn)+yn和x2-y2=9的公共点,

故方程必有一根x=xn.

从而

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