第八章 培优点11 圆锥曲线中探索性与知识交汇问题.docx
培优点11圆锥曲线中探索性与知识交汇问题
重点解读高考中探索性问题是一个重要考点，同时圆锥曲线与其它知识的交汇问题频繁出现在各类考题中，突出考查学生解决综合性数学问题的能力.
题型一探索性问题
例1已知椭圆C的焦点坐标是F1(－1，0)，F2(1，0)，过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B，D两点，且|BD|＝3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过定点P(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于不同两点M，N，试判断：在x轴上是否存在点A(m，0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
解(1)设椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝
由已知可得c＝1，2b2a
又a2＝b2＋c2，得a2＝4，b2＝3，
所以所求椭圆的标准方程为x24
(2)设直线l：y＝kx＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点E(x0，y0)，
假设在x轴上存在点A(m，0)，
使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，则AE⊥MN，
联立y＝kx＋2,x24＋y23＝1,得(4
由于直线l与椭圆C相交于不同两点，
所以Δ＝(16k)2－16(4k2＋3)0
?k－12或k1
所以x1＋x2＝－16k4k2＋3，x
所以x0＝x1＋x
y0＝kx0＋2＝64
因为AE⊥MN，
所以kAE＝y0-0
?m＝-2k
当k12时，4k＋3k≥4
当且仅当k＝32
所以－36≤m0
当k－12时，4k＋3k＝－
而－4k＋3-k≥4
当且仅当k＝－32时，等号成立，所以0m≤3
综上，存在点A(m，0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，
实数m的取值范围为-36，
思维升华存在性问题的解题策略
存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.
跟踪训练1(2025·太原模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，过点D(2，1)且斜率为1的直线经过点F.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M(异于坐标原点O)，使得当直线AB经过点M时，满足OA⊥OB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解(1)由题意过点D(2，1)且斜率为1的直线方程为y－1＝x－2，即y＝x－1，令y＝0，则x＝1，
∴点F的坐标为(1，0)，∴p2＝1
∴p＝2，抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)得抛物线C：y2＝4x，假设存在定点M(m，0)符合题意，
设直线AB的方程为x＝ty＋m(t∈R，m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立x＝ty＋m,y2＝4x,得y2
∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，Δ＝16t2＋16m0，
∵OA⊥OB，∴OA·OB＝0，
∴OA·OB＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋m)(ty2＋m)＋y1y2
＝(t2＋1)y1y2＋tm(y1＋y2)＋m2
＝－4m(t2＋1)＋4mt2＋m2＝m2－4m＝0，
∴m＝4或m＝0(舍去)，
当m＝4时，点M的坐标为(4，0)，满足OA⊥OB，Δ＝16t2＋16m0，∴存在定点M(4，0)符合题意.
题型二圆锥曲线中知识交汇问题
例2(2024·新课标全国Ⅱ)已知双曲线C：x2－y2＝m(m0)，点P1(5，4)在C上，k为常数，0k1.按照如下方式依次构造点Pn(n＝2，3，…)：过Pn－1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn－1，令Pn为Qn－1关于y轴的对称点.记Pn的坐标为(xn，yn).
(1)若k＝12，求x2，y2
(2)证明：数列{xn－yn}是公比为1＋
(3)设Sn为△PnPn＋1Pn＋2的面积，证明：对任意的正整数n，Sn＝Sn＋1.
(1)解由已知有m＝52－42＝9，
故C的方程为x2－y2＝9.
当k＝12
过P1(5，4)且斜率为12的直线为y＝x
与x2－y2＝9联立得到x2－x＋3
解得x＝－3或x＝5，
所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1(－3，0)，
该点显然在C的左支上.
故P2(3，0)，
从而x2＝3，y2＝0.
(2)证明方法一由于过Pn(xn，yn)且斜率为k的直线为y＝k(x－xn)＋yn，
与x2－y2＝9联立，
得到方程x2－[k(x－xn)＋yn]2＝9.
展开得(1－k2)x2－2k(yn－kxn)x－(yn－kxn)2－9＝0，
由于Pn(xn，yn)已经是直线y＝k(x－xn)＋yn和x2－y2＝9的公共点，
故方程必有一根x＝xn.
从而