2011届二轮复习数学(文)专题高效升级卷15 圆锥曲线中的探索性问题(共41张PPT) 下.ppt

（1）若 · ＝2，求c的值. （2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线. （3）试问（2）的逆命题是否成立？请说明理由. 解：（1）设过C点的直线为y＝kx＋c.代入y＝x2得x2－kx－c＝0. 令A（a，a2），B（b，b2），则ab＝－c. 因为 · ＝ab＋a2b2＝－c＋c2＝2， 解得c＝2，或c＝－1（舍去）.故c＝2. （2）证明：由题意知Q（ ，－c），直线AQ的斜率为kAQ＝ ＝ ＝2a.又y＝ x2的导数为y′＝2x，所以点A处切线的斜率为2a.因此，AQ为该抛物线的切线. （3）（2）的逆命题成立.证明如下：设Q（x0，－c）. 若AQ为该抛物线的切线，则kAQ＝2a. 又直线AQ的斜率为kAQ＝ ＝ ， 所以 ＝2a，得2ax0＝a2＋ab.因a≠0，有x0＝ . 故点P的横坐标为 ，即P点是线段AB的中点. 20.已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝ . （1）求椭圆E的方程; （2）求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程; （3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在，请找出;若不存在，说明理由. 解：（1）设椭圆E的方程为 ＋ ＝1，由e＝ ，即 ＝ ，a＝2c， 得b2＝a2－c2＝3c2.∴椭圆方程具有形式 ＋ ＝1. 将A（2，3）代入上式，得 ＋ ＝1，解得c＝2， ∴椭圆E的方程为 ＋ ＝1. （2）解法一：由（1）知F1（－2，0），F2（2，0）， ∴直线AF1的方程为y＝ （x＋2），即3x－4y＋6＝0. 直线AF2的方程为x＝2. 由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数. 设P（x，y）为l上任一点，则 ＝|x－2|. 若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0（因其斜率为负，舍去）. 于是，由3x－4y＋6＝－5x＋10得2x－y－1＝0， 所以直线l的方程为2x－y－1＝0. 解法二：∵A（2，3），F1（－2，0），F2（2，0）， ∴ ＝（－4，－3）， ＝（0，－3）. ∴ ＋ ＝ （－4，－3）＋ （0，－3） ＝－ （1，2）. ∴kl＝2.∴l：y－3＝2（x－1），即2x－y－1＝0. （3）解法一：假设存在这样的两个不同的点B（x1，y1）和C（x2，y2）， ∵BC⊥l，∴kBC＝ ＝－ .设BC的中点为M（x0，y0）， 则x0＝ ，y0＝ ，由于M在l上，故2x0－y0－1＝0.① 又B，C在椭圆上，所以有 ＋ ＝1与 ＋ ＝1. 两式相减，得 ＋ ＝0，即 ＋ ＝0， 将该式写为 · ＋ · · ＝0， 并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点表示代入该表达式中，得 x0－ y0＝0， 即3x0－2y0＝0. ② ①×2－②得x0＝2，y0＝3，即BC的中点为点A，而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的点B和C. 解法二：假设存在B（x1，y1），C（x2，y2）两点关于直线l对称，则l⊥BC， ∴kBC＝－ . 设直线BC的方程为y＝－ x＋m，将其代入椭圆方程 ＋ ＝1， 得一元二次方程3x2＋4（－ x＋m）2＝48，即x2－mx＋m2－12＝0. 则x1与x2是该方程的两个根. 由韦达定理得x1＋x2＝m， 于是y1＋y2＝－ （x1＋x2）＋2m＝ ， ∴B，C的中点坐标为（ ， ）. 又线段BC的中点在直线y＝2x－1上， ∴ ＝m－1，得m＝4， 即B，C的中点坐标为（2，3），与点A重合，矛盾. ∴不存在满足题设条件的相异两点. * * 2011届二轮复习数学（文）专题高效升级卷15 圆锥曲线中的探索性问题 专题高效升级卷15 圆锥曲线中的探索性问题 3. 过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案：C 4. 对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足 4x0的点M（x0，y0）在抛物线内部，若M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y＝2（x＋x0）与曲线C（