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第5节三角函数的图象与性质
【课标要求】（1）能画出三角函数的图象；（2）了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值；（3）借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质及正切函数在（－π2，π2）
正弦、余弦、正切函数的图象与性质（表中k∈Z）
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义
域
R
R
{x?x≠
kπ＋π2
值域
R
周期性
2π
奇偶性
奇函数
递增
区间
2kπ－π2，2kπ＋π2
（kπ－π2，kπ＋π
递减
区间
2kπ＋π2，2kπ＋3π
无
对称
中心
k
k
对称轴
方程
x＝kπ＋π
无
零点
kπ
kπ＋π
kπ
提醒y＝tanx无单调递减区间，在整个定义域内不单调.
提能点1
三角函数的定义域与值域
（1）（人B必修三P43练习A4题改编）函数f（x）＝cos2x＋6cos（π2－x）的最大值为（）
A.4 B.5
C.6 D.7
（2）函数y＝sinx－cosx
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规律方法
1.三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数的图象（三角函数线）来求解.
2.求三角函数值域（最值）的常见类型
（1）形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋c的形式，再求值域（最值）；
（2）形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asinxcosx＋b（sinx±cosx）＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域（最值）.
练1（1）函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为；
（2）（人A必修一P213习题4题改编）如果函数f（x）＝sin（x＋π3）＋32＋a在区间［－π3，5π6］上的最小值为3，
提能点2
三角函数的周期性、对称性与奇偶性
1.对称性与周期
（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期
（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.与三角函数的奇偶性相关的结论
（1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋π2（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z
（2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋π2（k∈Z
（1）〔多选〕已知函数f（x）＝3sin（2x－π3），则下列结论正确的是（）
A.f（x）的最大值为3
B.f（x）的最小正周期为π
C.f（x－π12）
D.f（x）的图象关于直线x＝11π
（2）（2022·新高考Ⅰ卷6题改编）记函数f（x）＝sinωx＋π4＋b（ω＞0）的最小正周期为T.若2π3＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于点3π2，
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规律方法
三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路
（1）奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式；
（2）周期的计算方法：利用函数y＝Asin（ωx＋φ），y＝Acos（ωx＋φ）（ω＞0）的周期为2πω，函数y＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0）的周期为π
（3）对称轴和对称中心的求法：求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y＝Asin（ωx＋φ）＋b或y＝Acos（ωx＋φ）＋b的形式，再把（ωx＋φ）整体看成一个变量，若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝π2＋kπ（k∈Z），求x；若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求x
练2（1）（2023·全国乙卷理6题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（π6，2π3）上单调递增，直线x＝π6和x＝2π3为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（
A.－32B.－12 C.12
（2）已知函数f（x）＝cos（ωx＋φ）（｜φ｜＜π）是奇函数且在x＝π处取得极大值，则φ可能为，此时满足题意的一个ω为.
提能点3
三角函数的单调性
角度1求三角函数的单调区间
（1）函数y＝｜tanx｜在（－π2，3π2）上的单调递减区间为
（2）函数y＝sin（－2x＋π3）的单调递减区间为
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