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第5节三角函数的图象与性质
【课标要求】（1）能画出三角函数的图象；（2）了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值；（3）借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质及正切函数在（－π2，π2）
正弦、余弦、正切函数的图象与性质（表中k∈Z）
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义域
R
R
{x?x≠kπ＋π2
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
2kπ－π2，2kπ＋π2
[2kπ－π，2kπ]
（kπ－π2，kπ＋π
递减区间
2kπ＋π2，2kπ＋3π
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
（kπ，0）
k
k
对称轴方程
x＝kπ＋π
x＝kπ
无
零点
kπ
kπ＋π
kπ
提醒y＝tanx无单调递减区间，在整个定义域内不单调.
提能点1
三角函数的定义域与值域
（1）（人B必修三P43练习A4题改编）函数f（x）＝cos2x＋6cos（π2－x）的最大值为（B）
A.4 B.5
C.6 D.7
解析：（1）因为f（x）＝cos2x＋6cos（π2－x）＝cos2x＋6sinx＝1－2sin2x＋6sinx＝－2（sinx－32）2＋112，又sinx∈[－1，1]，所以当sinx＝1时，f（x）
（2）函数y＝sinx－cosx的定义域为{x｜2kπ＋π4≤x≤5π4＋2kπ
解析：（2）法一要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sinx≥cosx的x范围为［π4，5π4］，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x｜2kπ＋π4≤x≤5π4＋2kπ
法二sinx－cosx＝2sin（x－π4）≥0，将x－π4视为一个整体，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ≤x－π4≤π＋2kπ（k∈Z），解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4（k∈Z），所以定义域为{x｜2kπ＋π4≤x≤5π4＋
规律方法
1.三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数的图象（三角函数线）来求解.
2.求三角函数值域（最值）的常见类型
（1）形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋c的形式，再求值域（最值）；
（2）形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asinxcosx＋b（sinx±cosx）＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域（最值）.
练1（1）函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为［－12－2，1］
（2）（人A必修一P213习题4题改编）如果函数f（x）＝sin（x＋π3）＋32＋a在区间［－π3，5π6］上的最小值为3，则a
解析：（1）设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝1－t22，且－2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12（t－1）2＋1，t∈[－2，2].当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－12－2.∴函数的值域为
（2）因为当x∈［－π3，5π6］时，x＋π3∈［0，7π6］，所以sin（x＋π3）∈［－12，1］，当x＝5π6时，sin（x＋π3）有最小值－12.可得f（x）＝sin（x＋π3）＋32＋a的最小值为
提能点2
三角函数的周期性、对称性与奇偶性
1.对称性与周期
（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期
（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.与三角函数的奇偶性相关的结论
（1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋π2（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z
（2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋π2（k∈Z
（1）〔多选〕已知函数f（x）＝3sin（2x－π3），则下列结论正确的是（ABD）
A.f（x）的最大值为3
B.f（x）的最小正周期为π
C.f（x－π12）
D.f（x）的图象关于直线x＝11π
解析：（1）因为函数f（x）＝3sin（2x－π3），所以f（x）的最大值为3，A正确；最小正周期T＝2π2＝π，B正确；f（x－π12）＝3sin［2（x－π12）－π3］＝3si