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重难专攻（十一）概率中的综合问题
概率中的综合问题是考查学生应用意识的重要载体，解决此类问题的关键是通过阅读题意，作出分析判断，获取关键信息；搞清各数据、各事件间的关系，建立适当的数学模型，把实际问题转化为数学问题，结合已有的数学知识，对实际问题作出合理的解释或决策.
概率与函数的交汇问题
【例1】某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为12，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p（0＜p＜1），假设每道题答对与否互不影响
（1）当p＝14时
①在甲答对了某道题的条件下，求该题是甲自己答对的概率；
②甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求X的数学期望E（X）﹔
（2）乙答对每道题的概率为23（含亲友团），现甲、乙两人各答两道题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于1536，求甲的亲友团每道题答对的概率p
解：（1）①记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“该题是甲自己答对的”，
则P（A）＝12＋12×14＝58，P（AB）＝12，所以P（B｜A）＝P
②由题意，X～B4，58，故E（X）＝4×5
（2）记事件Ai为“甲答对了i道题”，事件Bi为“乙答对了i道题”，i＝0，1，2.
其中甲答对某道题的概率为12＋12p＝12（1＋p），答错某道题的概率为1－12（1＋p）＝12
则P（A1）＝C21·12（1＋p）·12（1－p）＝12（1－p2），P（A2）＝12（1+p
P（B0）＝132＝19，P（B1）＝C21×2
所以甲答对题数比乙多的概率为P（A1B0∪A2B1∪A2B0）＝P（A1B0）＋P（A2B1）＋P（A2B0）
＝12（1－p2）·19＋14（1＋p）2·49＋14（1＋p）2·19＝136（3p2＋10
解得23≤p＜1，即甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值为2
解题技法
概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题应注意以下两点：（1）准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键；（2）注意变量的范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身范围的限制.
甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p，0＜p＜1.
（1）设甲以3∶1获胜的概率为f（p），求f（p）的最大值；
（2）记（1）中f（p）取得最大值时的p为p0，以p0作为p的值，用X表示甲、乙两人比赛的局数，求X的分布列和均值E（X）.
解：（1）甲以3∶1获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，
所以f（p）＝C32·p2·（1－p）·p＝3p3－3p4，0＜p＜
则f（p）＝9p2－12p3＝3p2（3－4p）.
令f（p）＞0，得0＜p＜34；令f（p）＜0，得34＜p
所以f（p）在（0，34）上单调递增，在（34，1）
所以当p＝34时，f（p）取得最大值，为81
（2）由（1）知p＝p0＝34
由题意知X的所有可能取值为3，4，5.
则P（X＝3）＝（34）3＋（14）3＝2764＋1
P（X＝4）＝C32×（34）3×14＋C31×34×（14）
P（X＝5）＝C42×（34）3×（14）2＋C42×（34）2×（14）
所以X的分布列为
X
3
4
5
P
7
45
27
X的数学期望E（X）＝3×716＋4×45128＋5×27128
概率与数列的交汇问题
【例2】（2023·新高考Ⅰ卷21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，…，n，则E（∑i=1nXi）＝∑i=1nqi.记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，
解：（1）设“第2次投篮的人是乙”为事件A，
则P（A）＝0.5×0.4＋0.5×0.8＝0.6.
（2）设“第i次投篮的人是甲”的概率为Pi，
则第i－1次投篮的人是甲的概率为Pi－1，第i－1次投篮的人是乙的概率为1－Pi－1，
则Pi＝0.6·Pi－1＋（1－Pi－1）×0.2（i≥2），
即Pi＝15＋25Pi－