重难专攻（四） 函数的零点问题.docx
重难专攻（四）函数的零点问题
【重点解读】利用导数研究函数零点问题是高考的热点，主要涉及判断、证明或讨论函数零点的个数、已知函数零点存在情况求参数及由函数零点性质研究其他问题等，多以解答题的形式出现，难度较大.
提能点1
数形结合法研究函数零点
（2025·南昌模拟节选）已知函数f（x）＝x2＋bex（b∈R），若函数y＝f（x）有3个零点，求b的取值范围.
解：函数y＝f（x）有3个零点，即关于x的方程f（x）＝0有3个根，
也即关于x的方程b＝－x2ex有
令g（x）＝－x2ex，则直线y＝b与g（x）＝－x2
g（x）＝x（
由g（x）＜0解得0＜x＜2；
由g（x）＞0解得x＜0或x＞2，
所以g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增.
g（0）＝0，g（2）＝－4e
当x＞0时，g（x）＜0；
当x→＋∞时，g（x）→0；
当x→－∞时，g（x）→－∞，
作出g（x）的大致图象如图所示，作出直线y＝b.
由图可知，若直线y＝b与g（x）的图象有3个交点，则－4e2＜b＜
即b的取值范围为（－4e2，0
规律方法
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用自变量x表示不含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数范围.
练1设函数f（x）＝lnx＋mx，m∈R，讨论函数g（x）＝f（x）－x3
解：由题意知g（x）＝f（x）－x3＝1x－mx2－x3
令g（x）＝0，得m＝－13x3＋x（x＞0
设φ（x）＝－13x3＋x（x＞0
则φ（x）＝－x2＋1＝－（x－1）（x＋1）.
当x∈（0，1）时，φ（x）＞0，φ（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，＋∞）时，φ（x）＜0，φ（x）在（1，＋∞）上单调递减.
∴x＝1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，
∴x＝1也是φ（x）的最大值点，
∴φ（x）的最大值为φ（1）＝23.
结合y＝φ（x）的图象（如图）可知，
①当m＞23时，函数g（x）无零点
②当m＝23时，函数g（x）有且只有一个零点
③当0＜m＜23时，函数g（x）有两个零点
④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点.
综上所述，当m＞23时，函数g（x）无零点
当m＝23或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点
当0＜m＜23时，函数g（x）有两个零点
提能点2
利用函数性质研究函数零点
已知函数f（x）＝ex－ln（x＋2），求证：f（x）＞16.
证明：f（x）＝ex－1x+2，x＞－
则f（x）在（－2，＋∞）上单调递增，
且f（－12）＝1e－23
f（0）＝1－12＝12＞
所以f（x）在（－12，0）上存在唯一零点x0，满足ex0＝1x0+2，所以x0＝－ln
当x∈（－2，x0）时，f（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（x0，＋∞）时，f（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）≥f（x0）＝ex0－ln（x0＋2）＝1x0
令h（t）＝t＋1t+2，t∈（－12，
则h（t）＝1－1（t+2
所以h（t）＞h（－12）＝12－12
所以f（x）＞16
规律方法
利用函数性质研究函数零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.
练2（2025·芜湖模拟）已知函数f（x）＝ax＋（a－1）lnx＋1x－2，a∈R
（1）讨论f（x）的单调性；
解：（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f（x）＝a＋a－1x－1
若a≤0，则f（x）＜0，f（x）在（0，＋∞）上单调递减；
若a＞0，则当x∈（0，1a）时，f（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1a，＋∞）时，f（x）＞0，f（x）
综上，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，1a）上单调递减，在（1a，＋∞）
（2）若f（x）只有一个零点，求a的取值范围.
解：（2）若a≤0，f（1e）＝ae＋1－a＋e－2＝（1e－1）a＋e－1＞0，f（1）＝a－1
结合函数的单调性可知，f（x）有唯一零点.
若a＞0，因为函数f（x）在（0，1a）上单调递减，在（1a，＋∞）上单调递增，所以要使得函数f（x）
只需f（x）min＝f（1a）＝1－（a－1）lna＋a－2＝（a－1）（1－lna）＝0，解得a＝1或a＝e
综上，a≤0或a＝1或a＝e.
提能点3
构造函数法研究函数零点
已知函数f（x）＝ex＋x＋4ln（2－x），判断函数f（x）的零点个数，并说明理由.
解：法一函数f（x）有两个零点，理由如下：
令g（x）＝f（x）＝ex＋1－42－x，x∈（－∞
g（x）＝