第三章　培优点3　泰勒展开式.docx

培优点3泰勒展开式

分值：60分

一、单项选择题(每小题5分，共15分)

1.(2024·郑州统考)计算器计算ex，lnx，sinx，cosx等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”的内容为：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内可以进行多次求导数运算，则当x≠x0时，有f(x)=f(x0)+f(x0)1！(x-x0)+f(x0)2！(x-x0)2+f(x)3！(x-x0)3+…，其中f(x)是f(x)的导数，f″(x)是f(x)的导数，f(

A.0.82 B.0.84 C.0.86 D.0.88

2.已知a=e0.1-1，b=sin0.1，c=ln1.1，则()

A.abc B.bca

C.cab D.cba

3.设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1，则()

A.abc B.bca

C.bac D.cab

二、多项选择题(共6分)

4.(2025·沈阳模拟)泰勒公式通俗地讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式：

ex=1+x+x22！+x33！+x44！+

sinx=x-x33！+x55！-x77！+…+(-1)n

由此可以判断下列各式中正确的是()

A.eix=cosx+isinx(i是虚数单位)

B.eix=-i(i是虚数单位)

C.2x≥1+xln2+(xln2)22

D.cosx1-x22+x424(x∈(

三、填空题(共5分)

5.数学家研究发现，对于任意的x∈R，sinx=x-x33！+x55！-x77！+…+(-1)n-1x2n?1(2n?1)！+…(n∈N*)，称为正弦函数的泰勒展开式.在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x，可以用这个展开式来求sinx的近似值.如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B的仰角∠BAC=30°

四、解答题(共34分)

6.(17分)(2024·合肥模拟)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处n(n∈N*)阶导数都存在时，f(x)在x=0处的n阶泰勒展开式为f(x)=f(0)+f(0)x+f″(0)2！x2+f(3)(0)3！x3+…+f(n)(0)n！xn+….注：f″(x)表示f(x)的2阶导数，即为f(x)的导数，f(n)(x)(

(1)写出f(x)=11?x的泰勒展开式(只需写出前4项)；(

(2)根据泰勒公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；(4

(3)证明：当x≥0时，ex-x22-sinx-cosx≥0.(

7.(17分)(2024·廊坊模拟)对于函数f(x)，规定f(x)=[f(x)]，f″(x)=[f(x)]，f(3)(x)=[f″(x)]，…，f(n)(x)=[f(n-1)(x)]，f(n)(x)叫做函数f(x)的n阶导数.若函数f(x)在包含x0的某个开区间(a，b)上具有直到(n+1)阶的导数，则对任意x∈(a，b)，f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+f″(x0)2！(x-x0)2+f(3)(x0)3！·(x-x0)3+…+f(n)(x0)n！(x-x0)n+Rn(x)，该公式称为函数f(x)在x=x0处的n

(1)写出函数f(x)在x=1处的3阶泰勒展开式(Rn(x)用R3(x)表示即可)；(4分)

(2)设函数f(x)在x=0处的3阶余项为g(x)，求证：对任意的x∈(-1，1)，g(x)≤0；(4分)

(3)求证：1+121+1221+123…1+12

答案精析

1.B[根据题意，f(x)=sinx，f(x)=cosx，f″(x)=-sinx，f(x)=-cosx，…，

取x0=0，可得f(x)=f(0)+f(0)1！x+f(0)

则f(x)=sinx=0+1×x+0×x2+(-1)×13！x3+0×x4+1×15！x5+…=x-16x3+1120x

令x=1，代入上式可得f(1)=sin1=1-16+1120+…=101120+

所以sin1≈0.84.]

2.D[∵sinx=x-x33！+x5

ln(1+x)=x-x22+x3

ex=1+x+x22！+x3

∴sin0.1=0.1-0.136+0.

ln1.1=0.1-0.122+0.

e0.1=1+0.1+0.122+0.

则e0.1-1=0.1+0.122+0.

∴ln1.1sin0.10.1e0.1-1，

故cba.]

3.B[因为a=2ln1.01=ln1.012=ln1.0201ln1.02，

所以ab，排除A，D；

由公式ln(1+x)=x-x22+

得a=2ln(1+0.01)

≈2×0.01?

≈0.02-0