泰勒展开式与洛朗展开式.ppt

例4 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 泰勒 级数 泰勒(Taylor)级数 洛朗 级数 洛朗(Laurent)级数 张红英 张红英 1. 问题的引入 §4.3 泰勒(Taylor)级数 2. 泰勒级数展开定理 3. 简单初等函数的泰勒展开式 4. 小结 一个幂级数的和函数在它的 收敛圆内部是一个解析函数。 1. 问题的引入 问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？ . 内任意点 如图: . K . 幂级数性质回顾： 定理（泰勒级数展开定理） 2. 泰勒(Taylor)级数展开定理 D k 代入(1) 分析： D k z 联合(I),(II) (*)式 证明： 注： (2) 展开式的唯一性 分析：设f (z)用另外的方法展开为幂级数: 直接法 　 　间接法：由展开式的唯一性，运用级数的代数 运算、分析运算和 已知函数的展开式来展开 函数展开成Taylor级数的方法： 3. 简单初等函数的泰勒展开式 例1 解： 直接法 间接法 例2 把下列函数展开成 z 的幂级数: 解： (2)由幂级数逐项求导性质得： 注:通过奇点判断收敛范围。 4. 小结：F(z)在z0点解析 1. 引入 §4.4 罗朗(Laurent)级数 2. 双边幂级数 3. Laurent级数展开定理 4. 函数的Laurent级数展开式 5 小结 回顾：f (z) 在z0解析 思考：若 f (z) 在z0点不解析，但在圆环域 : R1?z - z0?R2 内解析，那么，f (z)能 否用级数表示呢？ 1. 引入 f (z)在z0的某一个 圆域?z - z0?R 内展开成 z - z0的幂级数。 例： 由此推想，若f (z) 在R 1?z - z0?R2 内解析, f (z) 可以展开成含有负幂次项的级数,即 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 数和计算留数的基础。 2. 双边幂级数 ---含有负幂项的级数 定义 形如 ---双边幂级数 负幂项部分 正幂项(包括常数项)部分 是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 收敛域：?z - z0?=R2 。 收敛域： z0 R1 R2 z0 R2 R1 注： (2)在圆环域的边界?z - z0?=R1, ?z - z0?=R2上, 3. 洛朗级数展开定理 定理 (2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点 z0的去心邻域内解析，需要把f (z)展成洛朗 （ Laurent ）级数来展开。 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。 (3) 展开式的唯一性 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有 正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z) 的洛朗级数。 分析： D z0 R1 R2 c D z0 R1 R2 c 由唯一性，将函数展开成Laurent级数，主要 用间接法。 例1 解 4 函数的Laurent级数展开式 例2 解 例3 解