泰勒展开式常用公式高中数学.doc

泰勒展开式常用公式高中数学 篇一：泰勒公式例题 泰勒公式及其应用 等价无穷小在求函数极限 中的应用及推广 泰勒公式及其应用 １ 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这(来自:WwW.xltkwJ.cOm 小龙 文档 网:泰勒展开式常用公式高中数学)些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识 定义2.1[1] 若函数f在x0存在n阶导数,则有 f#39;(x0)f#39;#39;(x0) f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x? x0)2? 1!2! f(n)(x0)?(x?x0)n?o((x?x0)n) n! （1） 这里o((x?x0)n)为佩亚诺型余项,称(1)f在点x0的泰勒公式. f#39;(0)f#39;#39;(0)2f(n)(0)n 当x0=0时（,1）式变成f(x)?f(0)?x?x???x?o(xn), 1!2!n! 称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式. 定义2.2[2] 若函数 f在x0某邻域内为存在直至 n?1阶的连续导数,则 f#39;#39;(x0)f(n)(x0)2 f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)?...?(x?x0)n?Rn(x) , 2!n! #39; f(n?1)(?) （2）这里Rn(x)为拉格朗日余项Rn(x)?(x?x0)n?1,其中?在x与x0 (n?1)!之间,称（2）为f在x0的泰勒公式. f#39;#39;(0)2f(n)(0)n x?...?x?Rn(x) 当x0=0时（,2）式变成f(x)?f(0)?f(0)x?2!n! #39; 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： x2xne?x e?1?x?????xn?1. 2!n!(n?1)! x 2n?1 x3x5nxsinx?x?????(?1)?o(x2n?2). 3!5!(2n?1)! x2x4x6 cosx?1???? 2!4!6!x2n ?(?1)?o(x2n). (2n)! n n?1 x2x3nxln(1?x)?x?????(?1)?o(xn?1). 23n?1 1 ?1?x?x2???xn?o(xn) 1?x (1?x)m?1?mx? m(m?1)2 x??. 2! 定理2.1[3](介值定理) 设函数 f在闭区间 [a,b]上连续,且 f(a)?f(b),若?0为介于 f(a)与f(b)之间的任何实数,则至少存在一点x0?(a,b),使得 f(x0)??0. 3 泰勒公式的应用 3.1 利用泰勒公式求极限 为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出. cosx?ex?0x4 ?x2 2 例3.1 求极限lim. x22 分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cosx和e ? 分 别用泰勒展开式代替,则可简化此比式. x?x2x44 解 由cosx?1???o(x),e2 2!4! x22 2 x22(?)x2?o(x4)得 ?1??22 cosx?e 于是 ? ?( 111 ?2)x4?o(x4)??x4?O(x4), 4!2?2!12 lim x cosx?e x?0x4 ? x2 2 14 x?O(x4) 1 ?lim4??. x?0x12 ? x -1-x-sinxe例3.2极限lim . x→0sinx-xcosx 分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cosx和sinx, e x 分 别用泰勒展开式代替,则可简化此比式. 解： 由e x xx33 -1-x-sinx=1+x+++o(x)-1-x-+o(x)) 22626 233 = +6 3 34 12 3 +o(x)= 3 2 3 6 +o(x), 3 3 sinx-xcosx=x-+o(x)-x(1-+o(x)) 62 = 于是 3 3 +o(x) 3 x3x+o()1-1-x-sinxxe=3= lim x→0sinx-xcosx+o(x3)2 3 3 例3.3利用泰勒展开式再求极限 解： ， 。