数值积分与数值微分.ppt

*********************************************************************************本章介绍的求积公式的特点（1）梯形公式和Simpson公式是低精度的方法，但对于光滑性比较差的被积函数有时效果比用高精度的方法要好，而且由于公式简单，因此使用非常广泛。特别在计算机上，复化梯形公式和复化Simpson公式便于采用逐次对分的方法，计算程序十分简单（2）Romberg积分公式，其算法简单，程序也便于实现。当节点增加时，前面的计算结果可以直接参与后面的计算，因而减少了计算量。同时有比较简单的误差估计法，由于能同时得到多个积分序列，在做收敛控制时，对不同性态的函数可采用不同的收敛序列作为精度控制，以其中最快的收敛序列来逼近积分，此方法的一个最大缺点是节点的增加是成倍的。(3)Gauss型求积公式的最大优点是精度高，数值计算稳定。但求积节点和求积系数都没有规则,，当节点增加时，前面的计算结果不能被利用，只能重新计算，因此利用计算机计算时，需先输入节点数和各种Gauss型求积公式的节点和系数数据。Gauss型求积公式的另一优点是适用于某些区间上的广义积分计算第63页，共80页，星期日，2025年，2月5日*§6数值微分一、数据的数值微分设函数f(x)给出了一组数据其中节点xi满足1．利用Lagrange插值多项式求数值微分对f(x)进行Lagrange插值第64页，共80页，星期日，2025年，2月5日*其中对（8.43）两端求k阶导数有故有近似计算公式余项为第65页，共80页，星期日，2025年，2月5日*（1）两点公式（n=1）（2）三点公式（n=2）第66页，共80页，星期日，2025年，2月5日*2．利用三次样条插值函数作数值微分若用三次样条插值函数S(x)作为f(x)的近似函数，不仅可以使函数值非常接近，而且使导数值也非常接近，并且有其中表示的同阶无穷小以三转角插值法为例当时，第67页，共80页，星期日，2025年，2月5日*求导有第68页，共80页，星期日，2025年，2月5日*特别二、函数的数值微分1．差商代替微商（1）向前差商第69页，共80页，星期日，2025年，2月5日*（2）向后差商（3）中心差商（4）二阶中心差商差商近似代替微商的误差除取决于函数本身的解析性质外，还取决于h的大小，从理论上说h越小，误差精度就越高。但实际计算中，当h越小时，分子中出现了两个相近的数作减法运算，将会损失有效数位，从而产生较大的误差。第70页，共80页，星期日，2025年，2月5日*例8.13用中心差商公式计算在x=2处的一阶导数。解取5位有效数字得计算结果如表所示h近似值误差20.3660－0.01244710.3564－0.0028470.20.35350.0000530.10.35300.0005530.020.3550－0.0014470.010.35000.0035530.0020.35000.0035530.0010.30000.053530.00020.3000－0.146447准确值第71页，共80页，星期日，2025年，2月5日*从表中的数据可知，当h=0.2时，逼近效果较好，当h缩小时则逼近效果较差。当然对表达式作恒等变换取h=0.1，则有2．Richardson外推法求数值微分设f(x)可展开为Taylor级数，则有第72页，共80页，星期日，2025年，2月5日*二式相减有由Richardson外推法，可构造递推公式其中T0(h)为步长是h的一阶中心差商。例8.14利用Richardson外推法求在x=1处的一阶导数第73页，共80页，星期日，2025年，2月5日*解（1）取h=0.8，有（2）取h=0.4，有（3）取h=0.2，有第74页，共80页，星期日，2025年，2月5日*3．利用数值积分做数值微分微分是积分的逆运算，因此可将数值微分问题转化为数值积分问题，对[a,b]作n等分，步长，节点由恒等式