第八章 §8.7　双曲线.docx

§8.7双曲线

课标要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用.

1.双曲线的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的等于非零常数(|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的.

注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.

(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.

(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.

2.双曲线的标准方程和简单几何性质

标准方程

x2a

(a0，b0)

y2a

(a0，b0)

图形

性

质

焦点

焦距

范围

或?

，y∈R?

y≤－a或

y≥a，x∈R

对称性

对称轴：；对称中心：?

性

质

顶点

轴

实轴：线段，长：；虚轴：线段B1B2，长：；实半轴长：，虚半轴长：?

渐近线

离心率

e＝ca∈

a，b，c

的关系

c2＝(ca0，cb0)?

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()

(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在

(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m0，n0)的渐近线方程是x

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()

2.双曲线x2－4y2＝1的离心率为()

A.2 B.3 C.52 D.

3.(多选)已知双曲线方程x216－y29

A.焦点坐标为(0，±5)

B.虚轴长为6

C.焦距为10

D.渐近线方程为y＝±54

4.已知点P在双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上，双曲线的左、右焦点分别记为F1，F2，焦距为25，已知PF1⊥PF2，|PF1|

1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a+c，|PF2|min＝c－a.

3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b

题型一双曲线的定义及应用

例1(1)已知圆C1：(x+3)2+y2＝1和圆C2：(x－3)2+y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为()

A.x2－y28＝1(x≥1) B.x2－y

C.x2－y28＝1(x≤－1) D.y28－x

(2)(2025·永州模拟)已知F1，F2分别是双曲线E：x24－y212＝1的左、右焦点，M是双曲线E的左支上一点，过F2作∠F1MF2平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|

A.4 B.2 C.3 D.1

圆锥曲线的第二定义

平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：

(1)当0e1时，轨迹为椭圆.

(2)当e1时，轨迹为双曲线.

①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.

②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±a2

典例(1)椭圆x2a2+y2b2＝1(ab0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2，0)的距离与到直线x＝

(2)已知双曲线x29－y216＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2)，则|MA|+35

思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系，利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可.

跟踪训练1(1)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF

A.1 B.17 C.1或17 D.5或13

(2)F1，F2分别为双曲线C：x2a2－y26＝1(a0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上的一点，PF1与双曲线C的左支交于点Q.已知△

题型二双曲线的标准方程

例2(1)(2024·济南模拟)已知双曲线C1过点A(－15，1)，且与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，则双曲线C1的标准方程为()

A.x212－y24＝

C.x215－y25＝

(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线3x－4y+12＝0上的等轴双曲线的标准方程是.

思维升华求双曲线的标准方程的