第八章 §8.7 双曲线.docx
§8.7双曲线
课标要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用.
1.双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
x2a2
(a0，b0)
y2a2
(a0，b0)
图形
性质
焦点
F1(-c，0)，
F2(c，0)
F1(0，-c)，
F2(0，c)
焦距
|F1F2|=2c
范围
x≤-a或
x≥a，y∈R
y≤-a或
y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(-a，0)，
A2(a，0)
A1(0，-a)，
A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
渐近线
y=±ba
y=±ab
离心率
e=ca∈(1，+∞
a，b，c的关系
c2=a2+b2(ca0，cb0)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(×)
(2)方程x2m-y2n=1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.(
(3)双曲线x2m2-y2n2=1(m0，n0)的渐近线方程是xm
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(√)
2.双曲线x2-4y2=1的离心率为()
A.2 B.3 C.52 D.
答案C
解析因为x2-4y2=1，即x2-y21
所以a=1，b=12，c=a2+
所以e=ca=5
3.(多选)已知双曲线方程x216-
A.焦点坐标为(0，±5)
B.虚轴长为6
C.焦距为10
D.渐近线方程为y=±54
答案BC
解析由双曲线方程x216-y
得a=4，b=3，c=16+9=5，
又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(±5，0)，A选项错误；
所以虚轴长为2b=6，B选项正确；
焦距为2c=10，C选项正确；
渐近线方程为y=±bax=±34x，D
4.已知点P在双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)上，双曲线的左、右焦点分别记为F1，F2，焦距为25，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|
答案2
解析因为|PF1|=2|PF2|，
由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，
所以|PF1|=4a，|PF2|=2a，
因为PF1⊥PF2，
所以(4a)2+(2a)2=(25)
解得a=1，则实轴长为2.
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min=a+c，|PF2|min=c-a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b
题型一双曲线的定义及应用
例1(1)已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为()
A.x2-y28=1(x
B.x2-y2
C.x2-y28=1(x
D.y28-x
答案C
解析设动圆M的半径为r，
则|MC1|=r+1，|MC2|=r+3，
则|MC2|-|MC1|=2|C1C2|=6，
根据双曲线的定义知，动圆的圆心M的轨迹为双曲线x2-y28=1
(2)(2025·永州模拟)已知F1，F2分别是双曲线E：x24-y212=1的左、右焦点，M是双曲线E的左支上一点，过F2作∠F1MF2平分线的垂线，垂足为N，
A.4 B.2 C.3 D.1
答案B
解析双曲线x24-y212=1
延长F2N，MF1交于点H，
由题意△MNH≌△MNF2，则|MH|=|MF2|，|NH|=|NF2|，
又O是F1F2的中点，
所以|ON|=12|F1H|=12(|MH|-|MF1|)=12(|MF2|-|MF1|)
圆锥曲线的第二定义
平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：
（1）当0e1时，轨迹为椭圆.
（2）当e1时，轨迹为双曲线.
①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.
②焦点在