2021年北京市中考数学二模分类汇编：圆综合（教师版）.pdf

2021年北京市中考数学二模分类汇编——圆综合

1．（2021•海淀区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切

于D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，连接AD，AE，∠EAD＝22.5°．

（1）求∠EAB的度数；

（2）若BC＝2，求BE的长．

【分析】（1）连接OD，交BE于点F，利用切线的性质和垂径定理求得＝，进而

可求出∠EAB的度数；

（2）利用条件易证△ODC为等腰直角三角形，设OD＝OB＝r，则OC＝r，利用BC

＝2求出r的长度，利用垂径定理求得BE．

【解答】解：（1）证明：连接OD，交BE于点F，如图，

∵CD与⊙O相切于点D，

∴OD⊥CD，

∴∠ODC＝90°，

∵BE∥CD，

∴∠OFB＝90°，

∴OD⊥BE，

∴＝，

∴∠EAD＝∠DAB，

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∵∠EAD＝22.5°，

∴∠EAB＝∠EAD+∠DAB＝45°；

（2）解：∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，

∵∠EAB＝45°，

∴∠ABE＝∠EAB＝45°，

∵BE∥CD，

∴∠C＝∠ABE＝45°，

∴△ODC是等腰直角三角形，

设OD＝OB＝r，则OC＝r，

∴BC＝OC﹣OB＝r﹣r＝2﹣2，

∴r＝2，

∴BF＝OB•cos45°＝，

∵OD⊥BE，

∴EF＝FB，

∴BE＝2BF＝2．

【点评】本题是一道与圆有关的计算，综合运用了垂径定理，平行线的性质，圆周角定

理，切线的性质等知识．

2．（2021•西城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，∠OBC＝∠A，

点D在AB上，以点O为圆心，OD为半径作圆，交DO的延长线于点E，交AC于点F，

∠E＝∠BOC．

（1）求证：AB为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，tan∠OBC＝，求BD的长．

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【分析】（1）由圆周角定理得出∠DOF＝∠BOC，由直角三角形的性质得出OD⊥AD，

则可得出结论；

（2）由勾股定理求出OA＝3，设OC＝x，则BC＝2x，得出，求出x＝，

由勾股定理可得出答案．

【解答】（1）证明：∵∠E＝∠DOF，∠E＝∠BOC，

∴∠DOF＝∠BOC，

∵∠C＝90°，

∴∠OBC+∠BOC＝90°，

∴∠OBC+∠DOF＝90°，

∵∠OBC＝∠A，

∴∠A+∠DOF＝90°，

∴∠ADO＝90°，

∴OD⊥AD，

∴AB为⊙O的切线；

（2）解：∵∠OBC＝∠A，

∴tan∠OBC＝tan∠A＝＝，

∵OD＝3，

∴AD＝2OD＝6，

∴OA＝＝＝3，

设OC＝x，则BC＝2x，

在Rt△ABC中，tan∠A＝，

∴，

解得x＝，

∴OC＝，BC＝2，

∴OB＝＝＝5，

∴BD＝＝＝4．

【点评】本题考查了切线的判定，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，勾股定理

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等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键．

3．（2021•东城区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交

AC的延长线于点D，使得∠CBD＝∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2