2021北京中考数学二模分类汇编：代数综合（教师版）.pdf

2021北京中考数学二模分类汇编——代数综合

参考答案与试题解析

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1．（2021•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x﹣2mx+m与y轴的交点为

A，过点A作直线l垂直于y轴．

（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；

（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点M

（x，y），N（x，y）为图形G上任意两点．

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①当m＝0时，若x＜x，判断y与y的大小关系，并说明理由；

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②若对于x＝m﹣2，x＝m+2，都有y＞y，求m的取值范围．

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【分析】（1）根据对称轴公式x＝﹣，求解即可．

（2）①y＞y．利用图象法，根据函数的增减性判断即可．

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②通过计算可知，P（m﹣2，4），Q（m+2，4）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两

点，下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：分三种情形：如图2，当y轴在

点P左侧时（含点P），如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），如图4，当y轴在点P，

Q之间时（不含P，Q），分别求解即可．

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【解答】解：（1）抛物线y＝x﹣2mx+m的对称轴为直线x＝﹣＝m．

（2）①y＞y．

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理由：当m＝0时，二次函数解析式是y＝x，对称轴为y轴；

所以图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小；

∵x＜x，

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∴y＞y．

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②通过计算可知，P（m﹣2，4），Q（m+2，4）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两

点，

下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：

如图2，当y轴在点P左侧时（含点P），

经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，y＝y，不符题意；

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如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），

点M，N分别和点P，Q重合，y＝y，不符题意；

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如图4，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），

经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，y＞y，符合题意．

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此时有m﹣2＜0＜m+2，即﹣2＜m＜2．

综上所述，m的取值范围为﹣2＜m＜2．

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称翻折变换，函数的

增减性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问

题的关键．

2．（2021•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，M（a，y），N（a+t，y）为抛物线y＝

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x+x上两点，其中t＞0．

（1）求抛物线与x轴的交点坐标；

（2）若t＝1，点M，点N在抛物线上运动，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂

线，两条垂线交于点Q，当△MNQ为等腰直角三角形时，求a的值；

（3）记抛物线在M，N两点之间的部分为图象G（包含M，N两点），若图象G上最高

点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出t