第三章 §3.6　函数中的构造问题.docx

§3.6函数中的构造问题

重点解读1.函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.2.同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.

题型一导数型构造函数

命题点1利用f(x)与x构造函数

例1(2024·绵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf(x)0成立，若a＝30.2·f(30.2)，b＝ln2·f(ln2)，c＝log319·f?log319，则a，b，

A.abc B.cba

C.cab D.acb

思维升华(1)出现nf(x)＋xf(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x).

(2)出现xf(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝f(

跟踪训练1已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf(x)－f(x)0，且f(2)＝2，则f(ex)－ex0的解集是()

A.(－∞，ln2) B.(ln2，＋∞)

C.(0，e2) D.(e2，＋∞)

命题点2利用f(x)与ex构造函数

例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x)0，且有f(3)＝3，则f(x)3e3－x的解集为.?

思维升华(1)出现f(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x).

(2)出现f(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝f(

跟踪训练2已知f(x)为定义在R上的可导函数，f(x)为其导函数，且f(x)f(x)恒成立，则()

A.f(2025)ef(2026)

B.ef(2025)f(2026)

C.ef(2025)＝f(2026)

D.ef(2025)f(2026)

命题点3利用f(x)与sinx，cosx构造函数

例3(2025·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sinx＋f(x)cosx0，则()

A.f?π33f?π6 B.f?π6

C.f?π33f?π6 D.f?π63

思维升华函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式

F(x)＝f(x)sinx，

F(x)＝f(x)sinx＋f(x)cosx；

F(x)＝f(

F(x)＝f(

F(x)＝f(x)cosx，

F(x)＝f(x)cosx－f(x)sinx；

F(x)＝f(

F(x)＝f(

跟踪训练3(2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f(x).若对任意的x∈(0，π)，有f(x)sinx－f(x)cosx0，则关于x的不等式f(x)2f?π6sinx的解集为(

A.0，π3

C.π3，π

题型二同构法构造函数

命题点1双变量同构

例4已知α，β均为锐角，且α＋β－π2sinβ－cosα，则(

A.sinαsinβ B.cosαcosβ

C.cosαsinβ D.sinαcosβ

命题点2指对同构

例5(多选)若ea＋ab＋lnb(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是()

A.alnb B.alnb

C.eab D.eab

思维升华指对同构的常用形式

(1)积型：aea≤blnb，一般有三种同构方式：

①同左构造形式：aea≤lnbelnb，构造函数f(x)＝xex；

②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数f(x)＝xlnx；

③取对构造形式：a＋lna≤lnb＋ln(lnb)(a0，b1)，构造函数f(x)＝x＋lnx.

(2)商型：eaa≤

①同左构造形式：eaa≤elnblnb，构造函数f

②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数f

③取对构造形式：a－lna≤lnb－ln(lnb)(a0，b1)，构造函数f(x)＝x－lnx.

(3)和、差型：ea±ab±lnb，一般有两种同构方式：

①同左构造形式：ea±aelnb±lnb，构造函数f(x)＝ex±x；

②同右构造形式：ea±lneab±lnb，构造函数f(x)＝x±lnx.

跟踪训练4(1)若2x－2y3－x－3－y，则()

A.ln(y－x＋1)0 B.ln(y－x＋1)0

C.ln|x－y|0 D.ln|x－y|0

(2)(2024·盐城模拟)若不等式ax－exlna≤0(ae)在x∈[2，＋∞)上恒成立，则实数a的最大值为.?

答案精析

例1A[令g(x)＝xf(x)，x∈R，

因为f(x)＝f(－x)，所以