17.第三章 第16节 二次函数与线段、面积问题 .docx
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第16节二次函数与线段、面积问题
类型一与线段有关的问题
1.(2024保山市一模)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－2，0)，B(3，0)，C(0，6)三点；点P是第一象限内抛物线上的动点，点P的横坐标是m，且eq\f(1,2)m3.
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P作PN⊥x轴并交BC于点N，作PM⊥y轴并交抛物线的对称轴于点M，若PM＝eq\f(1,2)PN，求m的值．
第1题图
2.(万唯原创)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx(k≠0)与抛物线y＝ax2＋c(a≠0)交于A(8，6)，B两点，点B的横坐标为－2.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AB下方抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C，连接PO，设点P的横坐标为m.
①若点P在x轴上方，当m为何值时，OC＝CP；
②若点P在x轴下方，求△POC周长的最大值．
第2题图
类型二与面积有关的问题
1.(万唯原创)如图，抛物线y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c与x轴交于A(－2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，－4).
(1)求b，c的值；
(2)点P为第四象限内抛物线上一动点，连接AP，BP，当S△ABP＝9时，求点P的坐标．
第1题图
2.(2024文山市模拟节选)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点坐标为(－1，4)，与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接OP交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，请求出点D的坐标．
第2题图
参考答案
类型一与线段有关的问题
1.解：(1)将A，B，C三点坐标分别代入抛物线y＝ax2＋bx＋c得，
eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a－2b＋c＝0,9a＋3b＋c＝0,c＝6))，
解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝1,c＝6))，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋6；
(2)将x＝m代入抛物线的解析式得，
y＝－m2＋m＋6，
∴点P的坐标为(m，－m2＋m＋6).
令直线BC的函数解析式为y＝px＋q，
则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3p＋q＝0,q＝6))，
解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝－2,q＝6))，
∴直线BC的函数解析式为y＝－2x＋6.
∵eq\f(1,2)m3，且抛物线的对称轴为直线x＝－eq\f(1,2×（－1）)＝eq\f(1,2)，
∴PM＝m－eq\f(1,2).
又∵点N坐标为(m，－2m＋6)，
∴PN＝－m2＋m＋6－(－2m＋6)
＝－m2＋3m.
∵PM＝eq\f(1,2)PN，
∴m－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－m2＋3m)，
解得m＝eq\f(1±\r(5),2)，
又∵eq\f(1,2)m3，
∴m＝eq\f(1＋\r(5),2).
2.解：(1)将点A(8，6)代入y＝kx，得8k＝6，解得k＝eq\f(3,4)，
∴直线AB的解析式为y＝eq\f(3,4)x，
当x＝－2时，y＝eq\f(3,4)×(－2)＝－eq\f(3,2)，
∴B(－2，－eq\f(3,2)).
将点A(8，6)，B(－2，－eq\f(3,2))分别代入抛物线y＝ax2＋c，
得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64a＋c＝6,4a＋c＝－\f(3,2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,8),c＝－2))，
∴抛物线的解析式为y＝eq\f(1,8)x2－2；
(2)①设P(m，n)，则eq\f(1,8)m2－2＝n，
∵过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C，
∴C(eq\f(4,3)n，n)，
∴PC＝m－eq\f(4,3)n，
令eq\f(1,8)x2－2＝0，解得x＝4或x＝－4.
当点P在x轴上方时，4＜m＜8，n＞0，
∵OC＝CP，OC＝eq\r(（\f(4,3)n）2＋n2)＝eq\f(5,3)n，
∴eq\f(5,3)n＝m－eq\f(4,3)n，
∴n＝eq\f(1,3)m，
∵eq\f(1,8)m2－2＝n，
∴eq\f(1,8)m2－2＝eq