新人教版高中数学选择性必修第一册第三章章末复习课.pdf
第三章章末复习课
一、空间向量的概念及运算
空间向量可以看作是平面向量的推广,有许多概念和运算与平面向量是相同的,如模、
零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念,加减法的三角形法则和平行四边形法则,
数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等.
例1(1)[多选题]下列命题中不正确的是()
A.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
B.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同
C.零向量是没有方向的
D.有向线段就是向量,向量是有向线段
(2)如图所示,在平行六面体ABCDABCD中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且
1111
两两夹角均为60°.求:
①AC1的长;
②BD1与AC夹角的余弦值.
跟踪训练1[多选题]如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,S
到A,B,C,D的距离都等于2.以下结论正确的是()
A.SA+SB+SC+SD=0
B.(SA―SC)·(SB―SD)=0
C.SA―SB+SC―SD=0
SASBSCSD
D.·=·
二、利用空间向量证明线、面的位置关系
用空间向量判断空间中线、面位置关系的类型与方法总结:
(1)线线平行:证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
(2)线线垂直:证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直.
(3)线面平行:用向量证明线面平行的方法主要有:①证明直线的方向向量与平面的法向
量垂直;②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量.
(4)线面垂直:用向量证明线面垂直的方法主要有:①证明直线的方向向量与平面的法向
量平行;②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.
(5)面面平行:①证明两个平面的法向量平行(即共线向量);②转化为线面平行、线线平
行问题.
(6)面面垂直:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题.
例2如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,
AB=2,CE=EF=1.
求证:(1)AF∥平面BDE;
(2)CF⊥平面BDE.
1
跟踪训练2如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=2
PD,求证:
(1)平面PQB⊥平面DCQ;
(2)PC∥平面BAQ.
三、利用空间向量求空间角
空间中三种角的计算公式
(1)两条异面直线所成的角θ:cosθ=|cos〈u,v〉|=|·|=|·|(其中u,v分别是两
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异面直线的方向向量).
(2)直线和平面所成的角θ:sinθ=|cos〈u,n〉|=|·|=|·|(其中u是直线的方向向
||||||||
量,n是平面的法向量).
(3)两个平面的夹角θ:cosθ=|cos〈n,n〉|=|1·2|=|1·2|(其中n,n分别是两平
12|1||2||1||2|12
面的法向量).