新人教版高中数学选择性必修第一册第二章 习题课与圆有关的最值问题.pdf

习题课与圆有关的最值问题

学习目标1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几

何问题的思想．

导语

2017年7月我国首座海上风电平台4G基站在黄海建成，信号覆盖范围达60公里．

一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号．已知基站在海面上的信

号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少

呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题．)

一、与距离有关的最值问题

1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.

2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.

3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2r2－d2，最大值＝2r.

4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝d2－r2.

22

例1(1)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)＋(y－2)＝25截得

的弦最短时，m的值为________．

3

答案－

4

解析直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，所以直线l会经过定点

2xy70

{＋－＝，

xy40

＋－＝，

解得定点坐标为M(3,1)，圆心C为(1,2)，当直线l与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短，

2－112m＋112m＋13

k＝＝－，k＝－，所以k×k＝(－)×(－)＝－1，解得m＝－.

CM1－32lm＋1CMl2m＋14

22

(2)已知圆C：x＋y－2x＋4y＋1＝0关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，则由点M(a，b)向圆

C所作的切线中，切线长的最小值是()

A．2B.5C．3D.13

答案B

2222

解析因为圆C：x＋y－2x＋4y＋1＝0，即圆C：(x－1)＋(y＋2)＝4，

所以圆心为C(1，－2)，半径R＝2.

因为圆C关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，

所以l：3a－4b＋4＝0，所以点M(a，b)在直线l：3x－4y＋4＝0上，

1

|384|

＋＋

d2R294

所以|MC|的最小值为d＝＝3，切线长的最小值为－＝－＝5.

5

22

反思感悟(1)形如(x－a)＋(y－b)形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离

的平方的最值问题．

(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的

最值．

222

跟踪训练1(1)从点P(1，－2)向圆x＋y－2mx－2y＋